Методика идентификации моделей объектов III-го порядка первого типа по их временным характеристикам

Передаточная функция системы первого типа имеет вид:

, (6.4)

Представим структуру системы управления в виде последовательного соединения двух звеньев (см. рис. 6.4). В приведенной структурной математической модели объекта III-го порядка первого типа первое звено представляет собой – апериодическое звено, а второе – в общем случае звено II-го порядка.

Приравняв исходную передаточную функцию(6.4) и полученную в результате приведения (см. рис. 6.4) для последовательного соединения двух звеньев, легко установить связь между их коэффициентами:

; ; ; (6.5)

Рисунок 6.4 – Структурная схема математической модели объекта
III-го порядка первого типа

Так как звенья включены последовательно, то при подаче на вход управляющего воздействия в виде единичного скачка 1(t), вход во второе звено будет равный выходу первого, и определяется, как , а выход второго звена будет представлять собой кривую разгона объекта.

Дифференциальное уравнение объекта можно записать:

ay ^''+ by ^'+ y = . (6.6)

Выразим b. Известно, что в точке перегиба графика функции кривой разгона вторая производная равна 0: y ^''(t_п)=0. Тогда для момента времени, соответствующего точке перегиба (см. рис. 6.5), уравнение (6.6) запишется:

, (6.7)

откуда получим:

. (6.8)

Для нахождения неизвестных коэффициентов a и α ₁ запишем (6.6) в виде:

. (6.9)

Проинтегрируем (6.8) в пределах [ t ₁; t ₂]:

(6.10)

где S ₁,₂ – площадь, ограниченная линией установившегося значения у, кривой разгона и вертикалями в точках t ₁ и t ₂ (см. рис. 6.5)

В уравнении (6.10) возьмём в качестве пределов интегрирования t ₁=0, t ₂= ∞. Тогда, учитывая, что y (0)=0; y ^'(0)=0; y (∞)=1; y ^'(∞)=0 получим:

. (6.11)

где S _0∞– площадь над кривой разгона для t ₁=0 и t ₂= ∞, то есть во всем диапазоне наблюдения.

Рисунок 6.5 – Площадь, ограниченная линией установившегося
значения у, кривой разгона и вертикалями в точках t₁ и t₂

Уравнения (6.8) и (6.11) образуют систему с двумя неизвестными: b и α ₁. Решая эту систему (численно, графически, с помощью номограмм) можно определить значения этих коэффициентов.

При подстановке в (6.10) пределов интегрирования t ₁= t_n, t ₂=∞ и учитывая, что y (∞)=1; y ^'(∞)=0 получим:

. (6.12)

где S_n∞ – площадь над кривой (см. рис. 6.6) разгона для t ₁= t_n и t ₂= ∞

Рисунок 6.6 – Площадьнад кривой разгона дляt ₁= t_nиt ₂= ∞

Подставляя значения a, b и α ₁ в (6.5), получим значения коэффициентов a ₃, a ₂, a ₁.

Достоинством этой методики является тот факт, что мы можем получить аналитическое выражение переходной функции, решить обратную задачу и оценить точность идентификации. Решение уравнения (6.6) может быть использовано для проверки соответствия найденных коэффициентов.

Решение дифференциального уравнения складывается из суммы общего решения однородного уравнения ay ^''+ by ^'+ y =0 и частного решения неоднородного.

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид

, (6.13)

где (6.14)

Общее решение однородного уравнения зависит от корней характеристического уравнения:

ar ²+ br +1=0. (6.15)

Варианты значений корней:

- Вещественные неравные корни: r ₁=α₂, r ₂=α₃,тогда решениеобщего однородного уравнения будет иметь вид

, (6.16)

где с ₂, с ₃ – постоянные интегрирования равные:

; . (6.17)

Тогда

. (6.18)

- Вещественные равные корни: r ₁= r ₂= - α ₂,тогда решениеобщего однородного уравнения будет иметь вид

, (6.19)

где с ₂, с ₃ – постоянные интегрирования равные:

; (6.20)

Тогда

. (6.21)

- Комплексные корни равны: ,тогда решениеобщего однородного уравнения будет иметь вид

, (6.22)

где с ₂, с ₃ – постоянные интегрирования равные:

; . (6.23)

Тогда

. (6.24)

Дата добавления: 2015-11-14