Знакочередуючийся ряди. Ознака збіжності Лейбниця.

Визначення 4. Знакозмінний ряд називається знакочередуючимся, якщо його члени, які стоять поруч один до одного мають різні знаки. Знакочередуючийся ряд позначається .

Для знакочередуючихся рядів є досить загальна, чутлива й практична ознака збіжності, що належить Лейбницю.

Теорема 3.2. (Ознака Лейбниця) Якщо дано знакочередуючийся ряд , (), такий, що (тобто члени ряду монотонно не зростають) і , то даний ряд збігається і його сума .

Порядок дослідження знакозмінного ряду:

1) Складаємо ряд з модулів членів даного ряду й досліджуємо його на збіжність за однією з ознак для додатних рядів. Якщо отриманий ряд збігається, то збігається і даний ряд, причому абсолютно. Якщо ряд з модулів розбігається, то продовжуємо дослідження.

2) Якщо даний ряд знакочередуючийся, застосовуємо ознаку Лейбница. Якщо умови теореми 3.2 виконані, ряд збігається не абсолютно (умовно). Якщо ж умови не виконані, ряд розбігається.

Приклад1. Дослідити на збіжність ряд

Складемо ряд з модулів і досліджуємо його за ознакою Даламбера. Для даного ряду

;

Тоді

Так як <1, ряд збігається за ознакою Даламбера.

Виходить, вихідний ряд збігається абсолютно.

Приклад2. Дослідити на збіжність ряд

Складемо ряд з модулів і досліджуємо його за інтегральною ознакою Коши

Для цього ряду , і в цьому випадку

виходить, невласний інтеграл розбігається, отже, ряд з модулів не збігається.

До даного ряду застосуємо ознаку Лейбниця:

, .

Отже, вихідний ряд збігається умовно.

Дата добавления: 2015-11-14