Парабола. Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до

Читайте также:

Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой,называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается p.

Пусть точка О расположена посередине между фокусом и директрисой, и ось Ox направлена от О к F. Если d=MK – расстояние от M до директрисы и r =MF, то (рис. 1.7):

Отсюда - каноническое уравнение параболы

Уравнение директрисы:

Фокальный радиус точки M:

Эксцентриситет параболы считают равным

единице: (отметим, что тогда ).

Рис. 1.7

Уравнение касательной к параболе в точке

Поместим начало полярной системы координат в фокус F параболы . Так как расстояние от F до директрисы равно p, то полярные координаты () произвольной точки

М параболы удовлетворяют равенству , т.е.

. (1.6)

Пусть Г – произвольное коническое сечение, F - один из фокусов кривой Г, и пусть S - точка на Г такая, что отрезок FS параллелен директрисе кривой Г. Длину отрезка FS называют фокальным параметром кривой Г и обозначают p. Если - эксцентриситет кривой Г и d - расстояние от фокуса F до соответствующей директрисы, то . Аналогично (1.6) в полярной системе координат уравнение

при задает эллипс, а при одну из ветвей гиперболы.

Общее уравнение и инварианты кривых второго порядка

Пусть кривая Г задана в декартовой системе координат уравнением:

(2.1)

Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.

Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка Г существует такая декартова прямоугольная система координат , что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:

1) - эллипс,

2) - мнимый эллипс,

3) - две мнимые пересекающиеся прямые (точка),

4) - гипербола

5) - две пересекающиеся прямые,

6) - парабола,

7) - две параллельные прямые,

8) - две мнимые прямые,

9) - две совпадающие прямые.

В этих уравнениях - положительные параметры.

Функция называется квадратичной формой, соответствующей уравнению (2.1). Характеристическим уравнением квадратичной формы называется уравнение

(2.2)

а корни уравнения (2.2) называются характеристическими числами квадратичной формы .

Характеристическое уравнение (2.2) записывается в виде

(2.3)

и имеет дискриминант

(2.4)

Всегда и характеристические числа квадратичной формы находятся по формуле

(2.5)

В общем случае характеристическое уравнение (2.3) записывается в виде

(2.6)

где

(2.7)

(2.8)

Обозначим

(2.9)

. (2.10)

Значения не меняются при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой, полученной в результате поворота осей координат и переноса начала координат, то есть являются инвариантами кривой Г относительно поворота осей координат и переноса начала.

Значение K является инвариантом кривой Г только относительно поворота осей координат.

Теорема 2. Для любой кривой второго порядка Г существует угол и числа такие, что с помощью преобразования поворота осей и переноса начала координат