Задание №3. Доказать, что дифференциальное выражение является полным дифференциалом некоторой

Доказать, что дифференциальное выражение является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных, и найти все такие функции.

Решение. Дифференциальное выражение является полным дифференциалом некоторой функции на области (D), если выполняются условия:

1) функции P (x, y), Q (x, y) непрерывны вместе со своими частными производными и на области (D);

2) на области (D);

3) область (D) является односвязной.

,

.

Для данного дифференциального выражение условия 1)–2) выполняются на области , которая не является связной.

Поэтому рассмотрим область , которая является односвязной. На этой области (D)выполняются условия 1)–3), следовательно, существует функция F (x, y) такая, что полный дифференциал этой функции совпадает с данным дифференциальным выражением:

.

Очевидно, что таких функций F (x, y) существует бесконечно много, друг от друга они отличаются на постоянную величину. Находим функцию F (x, y) по формуле:

,

где – произвольная фиксированная точка области (D).

Выберем точку =(1,0). В силу вышеизложенного интеграл

не зависит от пути интегрирования на области (D). Выбираем путь интегрирования ABC.

1) AB: y = 0, dy = 0.

.2) BC: x = x = const, dx = 0.

.

Тогда .

Дата добавления: 2015-07-11