Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям



Читайте также:
  1. I Классификация кривых второго порядка
  2. В сперматоците 1 порядка в период G1 возник мутантный ген. Укажите максимальное число сперматозоидов, которые могут его получить.
  3. В.13. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера.
  4. В.14. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности. Метод разделения переменных для решения первой краевой задачи.
  5. Враг порядка
  6. Второго порядка и т.д.
  7. Второго рода

 

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке O1(x0;y0), оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса O1 начало новой системы координат O1x'y', оси которой O1х' и O1у' параллельны соответ­ствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направлены (см. рис. 63).

 

.

Рис. 15.

В этой системе координат уравнение эл­липса имеет вид .

 

Так как х' = х - x 0, у ' = xу0 (формулы па­раллельного переноса), то в старой системе координат уравнение эллипса запи­шется в виде .

 

Аналогично рассуждая, получим уравне­ние гиперболы с центром в точке O10;y0) и полуосями а и b (см. рис. 16):

 

Рис. 16.

 

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 17, имеют соответству­ющие уравнения:

 

Рис. 17.

5.2. Уравнение Ах2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0

 

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности (х – х0)2 + (у – у0)2 = R2 после преобразований (раскрыть скобки, пе­ренести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помо­щью единого уравнения вида:

Ах2 + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида Ах2 + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема:

Теорема 2. Уравнение Ах2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0 всегда определяет: либо окружность (при А =С), либо эллипс (при А · С > 0), либо гиперболу (при А · С < 0), либо параболу (при А·С = 0).

При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.

Пример 1.

Установить вид кривой второго порядка, заданной урав­нением 4 x2 + 2 + 20 х - 30у + 10 = 0.

 

Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс (А-С = 4·5 > 0). Действительно, проделаем следующие преобразования:

 

 

Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в O1 (- ;3) и полуосями

а = , b =

Пример 2.

Установить вид кривой второго порядка, заданной урав­нением х2 + 10 x - 2у + 11 = 0.

 

Решение: Указанное уравнение определяет параболу = 0). Действи­тельно,

x 2 + 10 x + 25 - 2у + 11 - 25 = 0,

(х + 5)2 = 2у + 14, (x + 5)2 = 2(у + 7).

 

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке O1 (-5;-7)и р =1.

Пример 3. Установить вид кривой второго порядка, заданной урав­нением 2 - у2 + 8х - 8у - 12 = 0 (А · С = -4 < 0).

 

Решение: Преобразуем уравнение:

4(х2 + 2х + 1) - 2 + 8у + 16) - 4 + 16 - 12 = 0,

4(х + 1)2-(у + 4)2 = 0,

(2(х + 1) + (у + 4)) • (2(х +1)-(у + 4)) = 0,

(2х + у + 6) (x - у - 2) = 0.

 

Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2х + у + 6 = 0 и 2х - у - 2 = 0.

 


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 257 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)