Задача 6. Плоский поперечный изгиб

ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

Статически определимые системы

Задача 6

Условие задачи. Для стальной балки, показанной на рис. 12а, требуется:

1) записать выражения изгибающих моментов М_X и поперечных сил Q_Удля каждого участка балки в общем виде;

2) построить эпюры внутренних усилий М_Xи Q_У. Найтимаксимальное значение ;

3) определить размеры поперечного сечения стальной балки из условия прочности по нормальным напряжениям:

а) прокатного двутаврового профиля (см. табл. сортамента по ГОСТ в рекомендуемой литературе);

б) прямоугольного сечения (соотношение сторон h/b = 2);

в) круглого сечения (диаметр d);

г) трубчатого сечения (соотношение диаметров d = 0,8D).

Сравнить подобранные сечения по расходу материала, сопоставляя площади поперечных сечений и считая площадь поперечного сечения двутавра за единицу. В расчетах принять ;

4) определить по методу начальных параметров прогибы "у" и углы поворота "Q" поперечных сечений "К" и "L". Принять ;

5) для чугунной балки (рис. 12б):

а) проверить прочность, выбрав поперечное сечение согласно варианта задания;

б) построить эпюры нормальных и касательных напряжений в характерных точках. Принять: .

Данные для решения задачи взять из табл.5.

Порядок выполнения задачи 6 (построение эпюр, проверка прочности балок, определение перемещений) показан на примерах 1 и 2.

Рис. 12.

Рис. 12. (продолжение)

Таблица 5

№ строки	Расчетная схема	а, м	F, кН	q, кН/м	М, кН×м	t, мм
	I	1,0
	II	1,5
	III	0,6
	IV	0,8
	V	0,7
	VI	0,9
	VII	1,4
	VIII	1,6
	IX	0,8
	X	0,9
	е	д	е	в	г	д

Пример 1. Соединение поршня двигателя внутреннего сгорания осуществляется поршневым пальцем, который работает на изгиб. Определить требуемый диаметр поршневого паль-

ца, используя расчетную схему (рис.13,а), прогибы посередине длины поршневого пальца (сечение "К") и угол поворота в сечении "L". Принять

.

Решение. 1). Используя уравнения статики, определим усилия Y_A и Y_B, представленные в расчетной схеме как опорные реакции. Вследствие симметрии системы можем записать

.

Внутренние усилия (изгибающие моменты М_Х и поперечные силы Q_У) найдем используя метод сечений на каждом из участков балки отдельно, заменяя действие распределенной нагрузки q равнодействующей силой, равной q×z:

Рис. 13.

участок I

при z₁ = 0

при z₁ = 14 мм

участок II

при z₂ = 0

при z₂ = 60 мм

Так как а при z₂ = 30 мм Q_У =0, то можем определить максимальную величину изгибающего момента

участок III

при z₃ = 0

при z₃ = 14 мм

По полученным значениям строим эпюры изгибающих моментов М_Х и поперечных сил Q_У (рис. 13,б, г), откладывая ординаты эпюры М_Хна растянутых волокнах.

2). Сечение балки подбираем из условия прочности по нормальным напряжениям

,

откуда

.

Для круглого поперечного сечения балки , откуда

.

3). Для вычисления перемещений используем метод начальных параметров.

Начальные параметры (у₀ и Q₀) определим из граничных условий, при этом начало координат выберем в крайнем левом сечении балки (рис. 13,г).

Из условия, что при z = 0прогиб на левой опоре равен нулю (у_А = 0), имеем: у₀ = у_А = 0.

Из условия, что при z = lпрогиб на правой опоре равен нулю (у_В = 0), имеем:

откуда

где

Угол поворота сечения "L" равен:

.

Прогиб в сечении "К" при z = l/2 = 4,4 см равен:

откуда

.

Пример 2. Построить эпюры внутренних усилий (Q_y и М_х), нормальных s и касательных t напряжений; проверить прочность чугунного кронштейна в сечении I – I (рис. 14). Принять:

Решение. 1). При построении эпюр внутренних усилий реакции в заделке можно предварительно не определять (консольная балка), рассматривая сечения от свободного конца балки.

Для консоли:

при z = 0 ;

при z = l .

2). Для проверки прочности необходимо определить геометрические характеристики поперечного сечения I - I (рис. 15).

Рис. 14 Рис. 15

Положение одной из центральных осей инерции известно – это ось симметрии y₀; вторая ось х₀ ей перпендикулярна и проходит через центр тяжести сечения.

Положение центра тяжести сечения найдем, исходя из понятия статического момента относительно вспомогательной оси. Для этого разобьем сечение на два прямоугольника I и II, центры тяжести которых находятся на пересечении диагоналей.

Ось примем за вспомогательную. Тогда статический момент относительно вспомогательной оси запишем в виде:

откуда

Полученное значение откладываем в сторону положительных значений оси у от оси и проводим вторую главную центральную ось , являющуюся также и нейтральной.

Момент инерции относительно нейтральной оси определим по формуле

Моменты сопротивления сечения определим по формулам:

для верхнего волокна

для нижнего волокна

Так как чугун неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то составляются два условия прочности:

для растянутого (верхнего) волокна

для сжатого (нижнего) волокна

Для построения эпюр нормальных и касательных напряжений (рис. 16) используем формулы:

где -максимальный изгибающий момент в поперечном сечении;

-момент инерции плоского сечения;

у– координаты рассматриваемой точки;

Q – поперечная сила в поперечном сечении;

- статический момент отсеченной части сечения;

b_y - ширина рассматриваемой части сечения.

Рис. 16.

При построении эпюры нормальных напряжений (рис. 16) задаемся координатой у:

при у = 0;

при у = b₁ = 6,68 см;

при у = b₂ = -23,32 см;

При построении эпюры касательных напряжений (рис. 16) определим значения напряжений в характерных сечениях.

Статический момент отсеченной части сечения, расположенной выше линии 1-1 равен нулю (), поэтому t_1-1 = 0.

Статический момент отсеченной части сечения, расположенной выше линии 2-2 равен

так как, ширина сечения b_2-2 = 48 см, то

Статический момент отсеченной части сечения, расположенной выше линии 3-3 равен

так как, ширина сечения b_3-3 = 2,4 см, то

Статический момент отсеченной части сечения, расположенной ниже линии 5-5 равен нулю (), поэтому t_5-5 = 0.

Максимальной величины касательное напряжение достигает по линии 4-4. Статический момент отсеченной части сечения, расположенной ниже линии 4-4 равен

так как, ширина сечения b_4-4 = 2,4 см, то

3). Проверяем прочность балки по главным напряжениям для точек по линии 3-3, используя третью теорию прочности:

Дата добавления: 2015-07-11