Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Геометрический смысл производной



Читайте также:
  1. B каком смысле?
  2. I. Смысл буквы
  3. II. Прочитайте и переведите предложения, обращая внимание употребление эквивалентов модальных глаголов. Где возможно замените эквивалент подходящим по смыслу модальным глаголом.
  4. XII. СМЫСЛ ЗАБОТЫ*................................................................................................................................160
  5. А, в этом смысле. Ишь ты. Какое счастье.
  6. Бажин, Е.Ф. Опросник уровня субъективного контроля (УСК) / Е.Ф. Бажин, Е.А. Голынкина, А.М. Эткинд. - М.: Смысл, 1993. - 16с.
  7. Байта Обозначение Смысл

Рассмотрим график функции y = f (x) в окрестности фиксированной точки x 0 (рис.5, слайд 5 в презентации).

Рис. 5

Точка M0(x 0; y (x 0)) – фиксированная точка графика y = f (x). Точка M(x 0+D x; y (x 0+D x)) при различных значениях D x – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M0 (при этом D x ®0), то секущая линия M0M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M0.

Рассмотрим D M0M A: t g aсек= , aсек = угол наклона секущей M0M к оси Ox.

Перейдем к пределу при D x ®0:

То есть y ' (x 0) = t g aкас => частное значение производной функции y = f (x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к линии y = f (x) в точке M0(x 0; y (x 0)).

Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(x 0; y 0) с известным угловым коэффициентом Kкас = y '(x 0), можно записать уравнение касательной к линии y = f (x) в точке M0(x 0; f (x 0)):

y = f (x 0) + f ' '(x 0) × (x - x 0)

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M0(x 0; f (x 0)):

y = f (x 0) - ,

используя условие перпендикулярности прямых: Kнорм = - .

Таблица производных основных элементарных функций

1)

Вывод: ;

 

2) ;

Вывод: ;

 

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

 

4)

Вывод: так как ln x = lo g e x, то, используя производную, для (lo ga x), можно записать:

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, D y = y (x +D x) - y (x) = c-c = 0

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' =0

2. (x a) = a× x a-1

3. (ax)' = ax ×ln a, (a >0, a # 1)

4. (ex)' = ex

5. (lo gax)' = , (a >0; a # 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = - sin x

9. (t gx)' =

10. (ct gx)' = -

11. (a rcsin x)' =

12. (a rccos x)' = -

13. (a rct gx)' =

14. (a rcct gx)' = -


Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 100 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)