Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Решение типового примера

Читайте также:
  1. А теперь мое решение проблемы
  2. АНАЛИЗ И РАЗРЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМНЫХ СИТУАЦИЙ
  3. Анализ и решение задач межотраслевого баланса в Excel.
  4. Анализ и решение межличностных проблем с помощью интеллект-карт
  5. В Красноярском крае единый налог на вмененный доход для отдельных видов деятельности устанавливается решением муниципального или районного Совета депутатов каждой территории.
  6. Важное решение
  7. ВЕРБАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОЕ (ДИСКУРСИВНОЕ) МЫШЛЕНИЕ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Решение матричных игр 2х2 в смешанных стратегиях и моделирование результатов

Решение типового примера

Матричную игру 2х2 решить в смешанных стратегиях:

1) аналитически (для игрока А); геометрически (для игрока В)

2) провести моделирование результатов игры с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел, разыграв 30 партий; определить относительные частоты использования чистых стратегий каждым игроком и средний выигрыш, сравнив результаты с полученными теоретически в п.1.

Игра задана платежной матрицей: .

Решение:

1. Найдем аналитически оптимальную стратегию игрока А и соответствующую цену игры Х*(р1, р2), n.

Так как Х* – оптимальная, то она должна гарантировать средний выигрыш игроку А, равный цене игры при любом поведении игрока В:

для стратегии В1: ;

для стратегии В2: .

С учетом того, что сумма компонентов смешанной стратегии равна 1, получаем систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе: или .Значит:

Итак: , n = 9.

Найдем геометрически оптимальную смешанную стратегию игрока В: Y*(q1, q2).

Стратегию А1 изобразим точками с ординатами 10 и 7 на прямых В1 и В2 соответственно. Стратегию А2 – точками с ординатами 8 и 11 (см. рис. 1).

Каждой точке на отрезке [0; 1] соответствует смешанная стратегия игрока В. Среди них оптимальной будет та, которая определяется самой низкой точкой ломанной А1МА2, т.е. точкой М. Для нахождения компонентов оптимальной стратегии игрока В надо найти координаты точки М, причем если М (х, у), то q1 = 1 – х, q2 = х, n = y. Для этого найдем уравнения прямых А1А1 и А2А2, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки:

.

Так как А1(0; 10) и А1(1; 7), то

, , , .

Т.е. уравнение прямой А1А1 имеет вид: .

Рис. 3. Геометрическая интерпретация матричной игры для игрока В

 

Так как А2(0; 8) и А2(1; 11), то

, , , .

Т.е. уравнение прямой А2А2 имеет вид: .

Найдем координаты точки М, решив систему уравнений прямых А1А1 и А2А2:

Итак, , значит n = 9, или .

Ответ: , , n = 9.

 

2. Проведем моделирование результатов решения с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел (см. приложение). Для 30 партий хватит 60 чисел, на основе которых будут выбираться стратегии игроками. Используемые случайные числа сгенерированы в MS Excel функцией =СЛЧИС(). В приложении достаточно много чисел, но использовать для моделирования можно любые 60, выбранные произвольно с любого места таблицы. Мы возьмем числа из первого блока (для игрока А используется 1, 3 и 5 столбики).

Будем выбирать стратегии игроков, используя геометрическое определение вероятности. Так как все случайные числа из отрезка [0; 1], то чтобы стратегия А1 появлялась примерно в половине случаев, будем ее выбирать если случайное число меньше 0,5; в остальных случаях выбирается стратегия А2. Аналогично для игрока В. Стратегию В1 будем выбирать, если соответствующее случайное число меньше , в противном случае выбираем стратегию В1.

Заполним расчетную таблицу:

Номер партии Случайное число игрока А Стратегия игрока А (А1: < 0,5) Случайное число игрока В Стратегия игрока В (В1: < 0,667) Выигрыш А Накоплен­ный выиг­рыш А Средний выигрыш А (цена игры)
0,029 А1 0,125 В1     10,000
0,611 А2 0,490 В1     9,000
0,766 А2 0,958 В2     9,667
0,738 А2 0,564 В1     9,250
0,944 А2 0,257 В1     9,000
0,416 А1 0,886 В2     8,667
0,513 А1 0,226 В1     8,857
0,717 А2 0,467 В1     8,750
0,994 А2 0,822 В2     9,000
0,412 А1 0,244 В1     9,100
0,259 А1 0,176 В1     9,182
0,610 А2 0,658 В1     9,083
0,207 А1 0,451 В1     9,154
0,071 А1 0,994 В2     9,000
0,391 А1 0,724 В2     8,867
0,835 А2 0,469 В1     9,000
0,062 А1 0,392 В1     9,059
0,181 А1 0,457 В1     9,111
0,891 А2 0,336 В1     9,053
0,375 А1 0,094 В1     9,100
0,009 А1 0,522 В1     9,143
0,255 А1 0,806 В2     9,045
0,273 А1 0,562 В1     9,087
0,111 А1 0,805 В2     9,000
0,888 А2 0,037 В1     8,960
0,392 А1 0,341 В1     9,000
0,843 А2 0,808 В2     9,074
0,086 А1 0,585 В1     9,107
0,426 А1 0,370 В1     9,138
0,562 А2 0,688 В2     9,200

 

Таким образом, в результате моделирования в 30 партиях цена игры (средний выигрыш) равен 9,2. Этот результат согласуется с теоретической ценой игры 9.

Частоты использования игроками своих чистых стратегий соответственно равны:

Х(18/30;12/30), Y(21/30; 9/30) или

Х(0,6; 0,4), Y(0,7; 0,3)

Сравнивая с теоретическими оптимальными стратегиями Х*(0,5; 0,5) и
Y*(0,67; 0,33) можно сделать вывод, что результаты моделирования достаточно близко им соответствуют даже для небольшого количества партий.

 

 


Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 49 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
SYN-сканирование| Телефон бесплатной линии для справок: 8 800 555 04 12

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)