Теоретико-множественные и логические модели надежности СЭЭС

Сложные технические системы, к которым относятся ЭЭС, способны выполнить заданные функции несколькими способа-ми, что обеспечивает работоспособность ЭЭС при отказе отдельных элементов. Набор элементов, входящих в состав ЭЭС, является конечным, счетным множеством и может быть задан списком

X={x₁, x₂,..., x_i,...,x_m}, (7)

где Х—множество элементов, образующих ЭЭС, х_i—индикатор i-го элемента, принадлежащего множеству X, что обозначают через символ принадлежности О так: x_i О X.

Множество Х характеризуется мощностью m — числом своих элементов.

Относительно элементов ЭЭС могут быть высказаны различные утверждения, они становятся истинными или ложными в процессе исследования надежности ЭЭС. Например, высказывание P (x): «Элемент х является работоспособным». Применяя это высказывание последовательно ко всем элементам множества X, получаем вектор логических переменных

X = [x₁, x₂,.., x_i,.., x_m, ], (8)

где æистина, если P (x_i) – истинно;

x_i = í

è ложь, если P (x_i) – ложно.

Вектор Х может быть представлен в ЭВМ соответствующим массивом логических переменных размерностью m. Здесь уместно отметить аналогию организации данных в программах и указанными формами записи, так, выражение (7) соответствует отведению в ЭВМ m ячеек памяти, а выражение (8)—присвоению элементам массива конкретных значений. Многие алгоритмические языки программирования позволяют прямо оперировать с логическими переменными, однако про-граммы часто оказываются более гибкими, если вместо логических переменных используют целочисленные индикаторы

æ1, если P (x_i) – истинно;

x_i = í (9)

è0, если P (x_i) – ложно.

В этом случае вектор Х описывается двоичным целым числом.

Вектор Х определяет состояние элементов ЭЭС и порождает фундаментальное пространство состояний В, мощностью которого 2^m:

B = { X ₀, X ₁, …, X _i,.., X _k} (10)

где k=2^m — 1. При такой нумерации векторов их значения соответствуют индексам, записанным в двоичном коде.

Высказывание P (Х): «Система работоспособна в состоянии X О B» является функцией алгебры логики от m логических переменных F(X). Эта функция выделяет в фундаментальном множестве В подмножество S, соответствующее работоспособным состояниям сложной системы:

S = { X Î B ê F(X) } (11)

Пример 1. Пусть судовая электростанция состоит из трех ДГ. Предельное состояние системы наступает при отказе двух ДГ. В этом случае

X = {x₁, x₂, x₃};

B = { X ₀, X ₁, X ₂, X ₃, X ₄, X ₅, X ₆, X ₇},

где X ₀ = [000]; X ₁ = [001]; X ₂ = [010]; X ₃ = [011];

X ₄ = [100]; X ₅ = [101]; X ₆ = [110]; X ₇ = [111]

Область работоспособных состояний S = { Х ₃, X ₅, Х ₆, Х ₇}.

(см. рис. 2)

Рис. 2.

Рис. 3.

Более наглядно эту область можно представить на диаграмме Венна (рис. 2) или на соответствующей ей матрице Карно (рис. 3), откуда

следует, что функция алгебры логики (ФАЛ)

F(X) = x₁x₂ Ú x₁x₃ Ú x₂x_3.

Из приведенного примера видно, что ФАЛ позволяет проводить логический анализ состояний системы, т. е. оценку ее работоспособности в конкретных состояниях, но количественные оценки показателей надежности пока сделать нельзя из-за отсутствия данных о вероятности появления каждого состояния системы. Правда, иногда полагают все состояния равновероятными и тогда вероятность безотказного состояния определится отношением мощности множества S к мощности множества В, что в приведенном примере дает значение 0.5.

Дата добавления: 2015-10-16