Основна лема

Нехай А₁, А₂ і В₁, В₂ - пари різних точок, симетричних щодо кола ω. Тоді всі ці чотири точки лежать на одному колі.

O

B

B

A

A

За визначенням симетричних точок ОА₁ • ОА₂ = R₂ = ОВ₁ • ОВ₂, отжеОА₁/ ОВ₁ = ОВ₂ / ОА₂. З пропорційності сторін слідує подібність трикутників ОА₁В₁ і ОВ₂А₂ по двох сторонах і куту між ними.

З подоби трикутників випливає

мал.7

рівність кутів <ОА₁В₁ = <ОВ₂А₂. А рівність цих кутів і означає, що чотирикутник А₁А₂В₂В₁ - вписаний, або, іншими словами, всі чотири точки лежать на одному колі, що й треба було довести.

Тепер можна довести першу важливу властивість інверсії.

Теорема 1

Пряма, не проходить через центр інверсії, переходить в коло, що проходить через центр інверсії.

O

M

A

B

K

Опустимо із центра О перпендикуляр ОМ на дану пряму і розглянемо точку К, симетричну точці М відносно кола. Візьмемо також на прямий довільну точку А і побудуємо симетричну їй точку В.

За основною лемою, точки К, М, А, В лежать на одному колі. Вписаний кут М - прямий, а значить, вписаний в те ж коло кут В теж прямий. Трикутник ОВК –

мал.8

прямокутний, отже точка В лежить на колі з діаметром ОК. Ця окружність і є образом вихідної прямої при інверсії.

Задача 3

Якщо вихідна пряма стосується кола, то точки М і К збігаються і доказ втрачає силу. Як змінити доказ теореми для цього окремого випадку?

О

B

C

А

Q

P

ω

а

α

Особливо легко побудувати образ прямої, яка перетинає коло інверсії. Оскільки точки кола інверсії залишаються нерухомими, достатньо провести коло через центр інверсії і дві точки перетину кола інверсії і вихідної прямої.

мал.9

Отримане креслення містить коло ω, пряму а, що перетинає його в двох точках В і С та коло α, що проходить через точки О, В,

С. Це коло α є образом прямої а при інверсії відносно кола ω.

Легко бачити, що дотичні, проведені до обох кіл з точки А, яка лежить на прямій а, рівні між собою. Це випливає з теореми про квадраті дотичні.

AP₂ = AB • AC = AQ₂, значить AP = AQ.

Виявляється, це твердження залишається вірним навіть, якщо кола α і ω не перетинаються.

Побудова образів простих фігур при інверсії.

Задача 4

Нехай коло α є образом прямої а при інверсії відносно кола ω; точка А лежить на прямій а. Тоді дотичні, проведені до кіл α і ω з точки А рівні між собою.

Теорему (1) можна, очевидно сформулювати і так:

Теорема 1 '

Коло, що проходить через центр інверсії, переходить в пряму, не проходить через центр інверсії.

Тепер представляється природним застосувати інверсію до довільного кола. Доведемо наступну найважливішу теорему.

Дата добавления: 2015-10-16