Основы работы и расчета на устойчивость внецентренно сжатых и сжато-изогнутых стержней.

Работа внецентренно сжатого стержня:

а — расчетная схема; б — зависимость между нагрузкой и прогибом стержня

Потеря несущей способности длинных гибких стержней при одновременном действии сжимающей силы и изгибающего момента происходит от потери устойчивости. При этом соответствующие состояния равновесия могут быть определены так же, как для центрального сжатия, с помощью энергетического баланса при вариации формы изогнутой оси стержня, а именно, dАi>dАе — устойчивое состояние, dАi<dАе — неустойчивое состояние, dАi=dАе — критическое состояние.

Механическое поведение стержня можно проследить на графике N—f. В отличие от центрального сжатия здесь прогиб появляется с самого начала приложения нагрузки и возрастает с ее ростом, вначале линейно в соответствии с линейным поведением материала, а затем график начинает отклоняться от прямой по мере развития в стержне пластических деформаций и заметного проявления геометрической нелинейности в работе стержня (участок а—т).

Наибольшая несущая способность стержня (точка т на графике) соответствует критическому состоянию Nmax = Ncr,e. Левее точки т — устойчивое состояние, правее — неустойчивое.

1. Напряженно-деформированное

состояние внецентренно сжатого стержня вмомент потери устойчивости:

а — эпюры напряжений; б — поперечное сечение стержня

Эпюра напряжений на рис. 1, а представлена в виде суммы двух эпюр: средних напряжений s₀ = N/А и напряжений от изгиба s_и = ρ_yE_s (ρ — кривизна). Две части поперечного сечения А₁ и А₂ разделены осью х, являющейся нейтральной для компоненты изгибного напряжения s_и. Заштрихованная фигура аа'ЬЬ' представляет собой вариацию изгибных напряжений от виртуального прогиба стержня.

2. Определение физических и геометрических характеристик равновесного состояния внецентренно сжатого стержня:

а — определение нейтральной оси стержня при изгибе; б — графики модулей деформаций

На рис. 2 Es и Еt — секущий и касательный модули деформаций:

Е_s= s/e;Е_t= ds/de.

Схему решения задачи нахождения критической силы N_cr,e можно представить следующим образом. При фиксированном N = const, задавая различные значения прогибов стержня, можно вычислить соответствующие значения момента внутренних сил Mi = Int(s_и ydA) (рис.3). График Ме = N(e +f) является линейной функцией f. Критическое состояние соответствует точке касания т двух графиков. Действительно, в этой точке выполняется условие равновесия Ми= Ме и условие критического состояния dMi= dМе.

3. Условие критического состояния внецентренно сжатого стержня

Трудность заключается в том, чтобы получить ситуацию, изображенную на рис.3: при заданном N = const прямая Мe должна касаться кривой Мi. Тогда значение N будет критическим Ncr,e. При произвольном задании N эти графики могут расходиться либо пересекаться. Однако последовательные целенаправленные повторы такой графоаналитической процедуры при различных N могут привести к желаемому результату.

На практике при использовании современной вычислительной техники задаче о нахождении критической силы сводится к решению системы уравнений, получаемых из вариационного условия критического состояния и условий равновесие стержня.

Критическая сила зависит от эксцентриситета е. При его увеличении критическая сила уменьшается. На практике удобнее пользоваться безразмерным относительным эксцентриситетом т = е/ρ, где ρ = W/А — ядровое расстояние со стороны наиболее сжатой фибры стержня.

Дата добавления: 2015-09-06