Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Волновое уравнение. Потенциал скорости

Читайте также:
  1. E) при которой возрастание скорости сокращения мышцы вызывает уменьшение силы тяги.
  2. JP Morgan видит Линн Energy потенциал роста на продажу активов, земли подкачки потенциала
  3. Вызванные потенциалы
  4. Генетический потенциал продолжительности жизни составляет 120-140 лет.
  5. Генетический потенциал продолжительности жизни составляет 120...140 лет.
  6. Генетический потенциал продолжительности жизни человека составляет 120-140 лет.

АКУСТИКА МОРСКОЙ СРЕДЫ

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ

Жидкие среды, рассматриваемые в гидроакустике, считаются сплошными. Физически это означает, что длина волны, распространяющейся в такой среде, намного превышает размер молекул, а период колебаний — время их свободного пробега между столкновениями. Обычно жидкую среду считают идеаль­ной, пренебрегая её вязкостью и теплопроводностью (движение идеальной жидкости рассматривается как адиабатическое). Од­нако при изучении поглощения и затухания волн в жидкой среде учитываются её вязкость (внутреннее трение) и теплопроводность.

В идеальной жидкой среде существует только продольная зву­ковая волна, причём частицы такой среды при плоском её фронте смещаются вдоль направления распространения волны. Со сме­щением частиц связаны изменения давления (нормального на­пряжения) р и плотности среды ρ, которые переносятся волной. Звуковая волна (или звуковое поле) в идеальной жидкости ха­рактеризуется пятью параметрами:

давлением р,

плотностью ρ

и тремя составляющими скорости (vx, vy, vz).

Давление p скла­дывается из гидростатического давления р0 и звукового давле­ния р1

р = ро1 (2.1)

Предполагается, что ро постоянно. Тогда дифференциал dp давления р равен дифференциалу звукового давления, т. е. dp = dp1.

Аналогично имеем для плотности

ρ = ρo + ρ1; dρ = dρ 1 (2.2)

где ρо — плотность невозмущенной среды;

ρ1 — плотность, обусловленная звуковой волной.

Первым соотношением, связывающим давление и плотность, является нелинейное адиабатическое уравнение состояния

P = f(ρ). (2.3)

Поскольку изменение давления и плотности малы, то, поль­зуясь формулой разложения в ряд Тейлора, данное уравнение можно записать в виде

, (2.4)

где df/dρ — производная по ρ при ρ = ρо, или р = ро, для которой мы ввели следующее обозначение:

df/dρ = с2. (2.5)

Пренебрегая степенями выше первой и интегрируя уравне­ние (2.4) в предположении с2 = const, получаем линеаризованное уравнение состояния

p = c2ρ + const. (2.6)

Константа исключается при дифференцировании последнего выражения по времени:

(2.7)

Величина есть скорость звука. Уравнение (2.7) имеет место лишь тогда, когда можно пренебречь внутренним тре­нием и когда акустические скорости частиц малы по сравнению со скоростями молекул среды.

Объём жидкости (τ) должен иметь постоянную массу М, т. е. М = ρτ = const, откуда

Следовательно,

Модуль объёмного сжатия К определяется соотношением

К = ‒ τ

Таким образом, получаем для скорости звука следующее вы­ражение:

(2.8)

Второе соотношение между величинами v, ρ и р можно найти, если в жидкости выделить бесконечно малый элементарный объём, который в течение рассматриваемого отрезка времени состоит из одних и тех же молекул и движется вместе с жидкостью. Пред­положим, что этот элементарный объём движется так, как если бы он был заморожен; тогда к нему можно применить закон Нью­тона F = m dv/dt. Получающееся при этом уравнение известно как уравнение Эйлера.

Рис. 2.1. Элементарный объём dx dy dz, используемый при выводе уравнения Эйлера

Для вывода уравне-ния Эйлера в случае трёх-мерного движения рас-смотрим элементарный объём dxdydz, имею-щий форму куба (рис. 2.1). Введём обозначения: x1=x; х2 = у; хз = z; v1 = vx; ν2 = vv; v3 = vz. Тогда можно записать

(i,j =1,2,3), (2.9)

где подразумевается суммирование по индексам i и j (правило Эйнштейна). Тогда уравнение Эйлера можно записать в сле­дующем виде:

(2.10)

Первый член в правой части (2.10) представляет собой локаль­ное ускорение в некоторой точке х1, х2, хз жидкости; например, если движение нестационарно, то скорость в фиксированной точке будет изменяться во времени. Второй член в правой части (2.10) представляет собой конвективное ускорение, т. е. ускорение, которое приобретают частицы жидкости вследствие их пере­мещения в области с другими значениями скорости. В силу ма­лости колебательной скорости ν в звуковой волне конвективным ускорением, равным произведению скорости на производную от скорости по координате, можно пренебречь по сравнению с ло­кальным ускорением. Тогда с учётом того, что ρ0 ρ1 уравнение Эйлера примет простой вид

или — grad p = ρ0 (2.11)

Третье соотношение между v, ρ и руравнение непрерывно­сти — выражает закон сохранения вещества в гидродинамике: разность между массами жидкости, втекающей за данный проме­жуток времени в некоторый объём и вытекающей из него, дол­жна быть равна приращению массы жидкости внутри данного объёма.

Будем считать, что через грань, перпендикулярную оси X (см. рис. 2.1), за время dt втекает некоторая масса жидкости тх. За этот же промежуток времени dt через противоположную грань вытекает масса жидкости, отличная от тх, а именно . Разность между указанными массами жидкости будет равна

Так как mx = ρν dy dz dt, то

Разность между массами жидкости, втекающей и вытекающей через грани, перпендикулярные осям y и z, соответственно равна

Для общей разности массы втекающей и вытекающей жидкости получим

(2.12)

С другой стороны, приращение массы жидкости внутри объёма за время dt равно

где mt масса жидкости внутри выделенного объёма в начальный момент времени.

Очевидно, mt = ρ dx dy dz, при этом ρ является переменной величиной. Тогда

(2.13)

Приравнивая между собой (2.12) и (2.13), получим

(2.14)

или в векторной форме

(2.15)

Выражения (2.14) и (2.15) называются уравнениями непрерывности.

Для малых смещений и малых изменений плотности, характеризующих звуковую волну, уравнение (2.15) можно упростить. Введём в это уравнение величину уплотнения s, определяемого выражением

или ρ = ρ0 (1 + s).

Подставляя ρ = ρ0 (1 + s) в (2.15), получим

или

(2.16)

Пренебрегая в (2.16) величинами второго порядка малости и используя (2.2), имеем

(2.17)

или с учётом адиабатического уравнения состояния (2.7)

(2.18)

Отметим, что все три уравнения, характеризующие звуковое поле:

адиабатическое уравнение состояния (2.6),

уравнение дви­жения (Эйлера) (2.11)

и уравнение непрерывности (2.17) или (2.18),

— являются линеаризованными вариантами соответствующих уравнений гидродинамики.

Из уравнений состояния, Эйлера и непрерывности можно по­лучить волновые уравнения для всех пяти параметров [ р, ρ, (ν1, ν2, ν3)], характеризующих звуковую волну.

Применяя к уравнению Эйлера (2.11) операцию div и дифференцируя уравнение непрерывности по времени, а затем, вычитая один результат из другого, получаем волновое уравнение для давления

(2.19)

где

(2.20)

Волновое уравнение для скорости частиц можно получить, заменив операцию grad к уравнению непрерывности и продифференцировав уравнение Эйлера по времени. Поскольку

grad div = div grad + rot rot = Δ + rot rot,

уравнение для скорости частиц принимает вид

(2.21)

В соответствии с теоремой Гельмгольца любой вектор можно представить в виде разности градиента скалярного потенциала Ф и ротора векторной функции :

(2.22)

В силу того, что звуковое поле в идеальной жидкости является безвихревым (rot 0),

(2.23)

и с учётом векторного тождества rot grad 0 волновое уравнение (2.21) для колебательной скорости частиц принимает вид

(2.24)

Введённая нами скалярная функция Ф носит название потенциала скорости. Подставляя = — grad Ф в уравнение Эйлера (2.11), получаем связь между звуковым давлением р1 и потен­циалом скорости:

‒ grad p1 =

или

(2.25)

В гармонической звуковой волне частотой ω звуковое давле­ние p1 отличается от потенциала скорости Ф постоянным множи­телем:

р1 = — i ω ρо Ф, (2.26)

где i — мнимая единица.

Подставляя (2.25) в волновое уравнение для давления и ин­тегрируя его по времени, получаем для потенциала скорости ана­логичное уравнение

(2.27)

 


Дата добавления: 2015-09-05; просмотров: 179 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Алгоритм деформации| Промежуточныйконтроль

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.015 сек.)