Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Производная по направлению. Градиент

Читайте также:
  1. III Технология использования градиента. Создание пользовательского градиента
  2. Аура, градиенты, модуляции и канун технологической революции
  3. Вертикальный градиент
  4. Вторая производная имеет вид
  5. Градиент
  6. Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности
  7. Оценка глубины залегания намагниченных тел по градиентам различных порядков

 

Производной функции в точке по направлению называется предел

где

если предел существует.

Если функция дифференцируема, то производная по направлению вычисляется по формуле

(18.31)

где – направляющие косинусы вектора

В частности, если – функция двух переменных, то формула (18.31) производной по направлению примет вид:

(18.32)

где – угол между вектором и осью Ох.

Градиентом функции в точке называется вектор

(18.33)

или, то же самое,

Связь между градиентом функции и производной по направлению устанавливает формула

где – угол между векторами и

Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшее значение производной достигаемое в направление градиента, равно

В частности, если – функция двух переменных, то

 

Пример 1. Найти производную функции в точке по направлению вектора образующего с положительным направлением оси Ох угол

Решение. Используя формулу (18.32),вычислим частные производные функции z в точке A:

Так как то

 

Пример 2. Найти производную функции в точке по направлению к точке

Решение. Найдем вектор

Его направляющие косинусы равны:

Найдем значения частных производных функции u в точке

Тогда по формуле (18.31) получим:

 

Пример 3. Найти длину и направление (указать направляющие косинусы) градиента функции в точке

Решение. Вычислим частные производные функции u в точке М.

Используем формулу (18.33) при условии, что частные производные вычисляем в заданной точке

Тогда

Вычисляем длину полученного вектора:

Используем тот факт, что направляющие косинуса равны координатам единичного вектора направления, определяемого вектором дроби. Поэтому


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 85 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Многих переменных | Задания | Первого порядка | Задания | Дифференцирование сложных функций | Дифференцирование неявных функций | Касательная плоскость и нормаль к поверхности | Задания | III уровень |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Высших порядков| Экстремумы функций двух переменных

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)