Укороченные циклические коды

На практике при применении линейных циклических кодов не всегда требуется выполнение условия (25) n=2^r-1=2^n-k-1, поскольку достаточное для работы число информационных символов может оказаться меньшим, чем k=n-r. Одним из возможных решений может быть укорочение систематического кода, удовлетворяющего условию (25), путем отбрасывания некоторых информационных позиций исходного кода. Число неиспользуемых информационных символов s называют глубиной (длиной) укорочения. Укороченное сообщение получается за счет фиксированной установки нулевых значений в некоторых (произвольных) информационных позициях (чаще −в старших разрядах). Остальные k-s позиций могут принимать произвольные значения. Таким образом преобразовывают исходный циклический код (n, k, d₀) в укороченный код (n-s, k-s, d_s) c кодовым расстоянием d_s≥d₀.

В общем случае укороченный код не остается циклическим кодом, поскольку не сохраняется устойчивость к циклическому сдвигу. Тем не менее, для кодирования и декодирования укороченных кодов могут быть использованы те же кодеры и декодеры, что и для исходных кодов. Для компьютерного моделирования кодовые слова укороченных кодов дополняют нулями на старших позициях.

Пример 17 Требуется укоротить на две позиции разделимый циклический код Хэмминга (7;4;3) с порождающим полиномом g(х)=х³+х+1 и закодировать укороченным кодом сообщение А_k=11. Новый код, полученный из исходного установкой в нулевое состояние двух старших информационных разрядов, имеет два информационных символа и три проверочных. Множество полученных кодовых комбинаций образует укороченный линейный код (5;2;3).

Для кодирования сообщения А_k = 11 распределяемым циклическим кодом представим А_k в виде полинома, умножим на х^r, полученное произведение поделим на g(x), определим остаток от деления и сформируем кодовое слово:

a_k-1(x) = x+1;

a_k-1(x) ^. x^r = (x+1) ^. x³ = x⁴+x³;

;

a(x) = x⁴ + x³ + x² + 1 A = 11101.

Дата добавления: 2015-08-13