Понятие об усиленном законе больших чисел.

Требование конечности дисперсии в законе больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин (см. Теорему 3) связано исключительно со способом доказательства и в действительности это утверждение остается справедливым, если требовать только существование математического ожидания.

Теорема (Хинчина).

Любая последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание , подчиняется закону больших чисел, то есть

.

▲ Так как сходимость по вероятности к константе эквивалентна слабой сходимости (см. лемму о связи слабой сходимости со сходимостью по вероятности), то достаточно доказать слабую сходимость

.

По теореме непрерывности эта сходимость имеет место, если и только если для любого

.

Вычислим характеристическую функцию случайной величины .

Пользуясь свойствами и характеристических функций, имеем:

.

Поскольку первый момент случайной величины существует, то можно разложить в ряд Тейлора в окрестности нуля:

и, следовательно,

.

При , пользуясь вторым замечательным пределом , имеем:

■.

В условиях теоремы Хинчина имеет место не только сходимость по вероятности , но и сходимость почти наверное.

Теорема (Усиленный закон больших чисел Колмогорова для независимых одинаково распределенных случайных величин, без доказательства).

Если - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание , то имеет место сходимость

Конец курса «Теория вероятностей»

Дата добавления: 2015-08-10