Тема 4. Линейные операторы

Определение. Если задан закон, по которому каждому вектору пространства Rⁿ ставится в соответствие единствен­ный вектор пространства R^m, то говорят, что задан оператор Ã (), действующий из Rⁿ в R^m, и записывают = Ã().

Оператор называется линейным, если для лю­бых векторов и пространства Rⁿ и любого числа :

Вектор = Ã() называется образом вектора , а сам вектор — прообразом вектора .

Если пространства Rⁿ и R^m совпадают, то оператор А ото­бражает пространство Rⁿ в себя.

Выберем в пространстве Rⁿ базис:

(1)

Тогда

(2)

С другой стороны

(3)

Матрица А = (a_ij) называется матрицей опера­тора А в базисе , а ранг r матрицы A — рангом опера­тора .

Еще в матричной форме имеет вид:

Y=АХ (4)

Операции под линейными операторами.

1) Суммой двух линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством: .

2) Произведением линейного оператора А на число λ называется оператор λ , определяемый равенством .

3) Произведением линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством: .

Нулевой оператор и тождественный оператор:

Определение: Вектор называется собственным вектором линейного оператора А, если найдется такое число λ, что

(5)

Число λ называется собственным значением оператора (матрица А), соответствующим вектору х.

Равенство (5) можно записать в виде:

Последняя система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно:

а₁₁- λ а₁₂ … а_1n =0 (6)

а₂₁ а₂₂- λ … а_2n

……………..

а_n1 а_n2 … а_mn- λ

Этот определитель является многочленом n-й степени относительно ɻ и называется характеристическим многочленом оператора , уравнение (6)-характеристическим уравнением оператора или матрицы А.

Тогда: или , откуда а_ij≠0, если i≠j, и а_ij= λ _i, если i=j. т.о., матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

А= λ ₁ 0 … 0

0 λ ₂ … 0

………..

0 0 … λ _n

Верно и обратное: если матрица А линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы базиса-собственные векторы оператора .

Тема 5. Квадратные формы. (1ч.)

Определение. Квадратичной формой L(х₁, х₂,…,х_n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

L(х₁, х₂,...,х_n) = (1)

Матрица А= (а_ij), называется матрицей квадратичной формы, причем симметрическая матрица. В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

L= (2)

Где Х= х₁ - матрица-столбец переменных.

…

х_n

Пример. Заменить квадратную форму L(х_1, х_2, х₃)>4х²₁-12х₁х₂-10х₁х₃+х₂²-3х₃² в матричном виде.

Решение:

А₁₁= 4, а₂₂= 1_, а₃₃= -3, а₁₂= а₂₁ = -6, а₁₃ = а₃₁= -5, а₂₅= 0

L = (х₁, х₂, х₃)

Рассмотрим невырожденном линейном преобразовании переменных. Пусть Х= (х₁, х₂, х₃) и Y= (y₁, y₂,….,y_n) связаны линейным соотношением Х=СY, где С=(С_ij)- есть некоторая невырожденная матрица n-го порядка. Тогда:

, т.е. при невырожденном линейном преобразовании Х=СY матрица квадратичной формы принимает вид:

А^*= (3)

Квадратичная форма называется канонической, если все ее коэффициенты а_ij=0 при i≠j

, а ее матрица является диагональной.

Теорма: Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Канонические формы имеет ряд общих свойств. Одно из этих сформулируем в виде.

Теорема(закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы квадратичной формы. Ранг равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичная форма L-называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных.

L(х₁,х₂,...,х_n)>0 (L(х₁,х₂,…,х_n)<0).

Теорма. Для того чтобы квадратичная форма L= была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее собственные значения λ _i матрицы А были положительны (отрицательные).

Для знакоопределенности квадратичной формы используется и следующая теорема.

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и недостаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е.

>0, > >0,…, _n>0, где

Замечание. Для отрицатель определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются.

Тема 6. Элементы аналитической геометрии. (3+1ч.).

Пусть имеем на плоскости координат некоторую линию.

Определение. Уравнением линии на координатной плоскости 0_хy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Y= f(х), а М (х,y)-текущая точка линии.

Дата добавления: 2015-08-18