Часть 1. Критерии оценки грубых погрешностей

Критерии оценки грубых погрешностей

Цель работы: определение условно-истинного значения расстояния между ориентирами осей здания при n - кратном измерении (n<20) этого расстояния и определение доверительного интервала, в котором находится это значение с определенной доверительной вероятностью.

Теория

Для удобства анализа предположим, что при выполнении n многократных наблюдений одной и той же величины х_и = А постоянная систематическая погрешность Δс полностью исключена (равна нулю). Тогда результат i-го на­блюдения x_i = х_и + Δ_i, находится с некоторой абсолютной случайной погреш­ностью, которую можно записать в виде: Δ_i = Δ˚_i = x_i - х_и.

При нормальном законе распределения случайной погрешности Δ_i, за ис­тинную величину х_и = А принимают ее оптимальную оценку х̃ = А̃, равную оценке m̃₁ математического ожидания выполненного ряда наблюдений, т. е. полагают, что х̃ = А̃ - m̃₁ есть результат измерения:

(1.1)

Зная оценку х̃ = А̃ - m̃₁ истинного значения величины х_и, вычисляют аб­солютную погрешность каждого из п наблюдений:

(1.2)

Далее находят оценку СКО наблюдений σ̃, характеризующую точность метода измерений:

(1.3)

Оценка х̃ = А̃ измеряемого истинного значения х_и = А_и зависит от числа наблюдений n и является случайной величиной. Поэтому вводят и вычисляют оценку СКО величины х̃ = А̃, которую называют оценкой среднего квадратического отклонения результата измерения σ̃ ср = S(Ã). Данное СКО характеризует степень разброса значений х̃ = А̃ по отношению к истинному значению х_и = А_и и для различных и определяется как:

(1.4)

Из выражений (1.3) и (1.4) следует, что точность метода и точность ре­зультата многократных наблюдений увеличиваются с ростом числа п.

Рассмотрим случай многократных наблюдений, когда результат i-го на­блюдения содержит и случайную Δ˚ i и постоянную систематическую Δс по­грешности: x_i = х_и + Δ˚ i. +Δ с. Подстановка значений x_i в формулу (1.1) позво­ляет получить оценку х̃ результата измерений в следующем виде:

(1.5)

Из этого выражения следует, что многократные наблюдения и увеличение их числа n не влияют на систематическую составляющую погрешности ре­зультата измерений, но уменьшают случайную (за счет разных знаков от­дельных реализаций Δ˚i). Поэтому в случае, когда в результате многократных наблюдений преобладает систематическая погрешность (например, при использовании прибора низкой точности), целесообразно ограничиться только одним измерением.

Часть 1

При однократных измерениях обнаружить грубую погрешность не всегда удается. При многократных измерениях для их обнаружения используют статистические критерии. При этом задаются вероятностью q = 1 – P (уровнем значимости) того, что сомнительный результат действительно может иметь место в данной совокупности результатов измерений.

При малом числе наблюдений (n<20) применяют критерий Романовского. При этом вычисляют отношение и сравнивают его с критерием β_т, зависящим от заданного уровня значимости q и числа наблюдений n (табл.1). При β ≥ β_т результат считается промахом и отбрасывается.

Программа работы:

1. Из таблицы замеров (табл. 5.2) выбрать соответствующие замеры, согласно индивидуальному варианту таблица 5.1. Номер варианта определяется по двум последним цифрам зачётной книжки.

Таблица 5.1

Номер варианта выбирается в соответствии с двумя последними цифрами зачётной книжки для диапазона 1-22, по последней цифре для диапазона 23-99.

Варианты

Вариант	Номера замеров,№	Доверительная вероятность, Р
	1-5	0.9
	13-19	0.95
	15-21	0.99
	19-28	0.9
	21-32	0.95
	7-22	0.99
	31-46	0.9
	47-56	0.95
	41-49	0.99
	29-35	0.9
	5-14	0.95
	11-18	0.99
	2-13	0.9
	23-32	0.95
	15-23	0.99
	31-39	0.9
	51-59	0.95
	36-51	0.99
	49-60	0.9
	37-45	0.95
	20-31	0.99
	42-53	0.9

Таблица 5.2

Таблица замеров

№	Хi, м	№	Хi, м	№	Хi, м	№	Хi, м	№	Хi, м
	16,24		17,10		18,28		17,34		17,36
	16,19		17,31		18,36		17,10		17,31
	16,25		17,48		18,12		17,23		17,51
	16,41		17,64		18,46		17,29		17,54
	16,36		17,45		18,52		17,42		17,85
	16,52		17,83		18,39		17,56		17,51
	16,64		17,78		16,91		17,28		17,64
	16,81		17,96		17,03		17,63		17,86
	16,93		18,07		16,80		17,60		17,91
	16,26		18,25		16,97		17,32		17,81
	16,76		18,16		17,12		17,72		17,87
	16,85		18,34		17,23		17,44		17,94

Таблица 5.3

Занести результаты измерений в таблицу следующего вида:

Результаты измерений (xi), м	Отклонения от среднего (xi - x), м	D =
…	…	…
…	…	…
…	…	…
…	…	…

2. Использовать критерий Романовского для выявления (или не выявления) грубой погрешности.

3. Определить границы доверительного интервала ,

где - среднеквадратическое отклонение среднего арифметического.

4. Для выполнения отчета пользоваться таблицами 5.3, 5.4.

Таблица 5.4

Значения критерия Романовского β_т при числе измерений n<20

q	Число измерений, n
0,01	1,96	2,13	2,26	2,37	2,46	2,54	2,66	2,84
0,05	1,87	2,00	2,09	2,17	2,24	2,29	2,39	2,52
0,1	1,73	1,89	1,97	2,04	2,10	2,15	2,23	2,35

Значения коэффициента t при числе измерений n<20 и заданной доверительной вероятности

Таблица 5.5

Дата добавления: 2015-08-18