Длина вектора. Угол между векторами.

Определим с помощью введенного понятия скалярного произведения длину вектора и угол между векторами.

Определение 2.2 Длиной вектора в евклидовом пространстве называется число

(4)

Длину вектора будем обозначать через .

Естественно пожелать, чтобы угол между векторами, длина вектора и скалярное произведение были связаны обычным соотношением: скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как в этой фразе смысл всех слов, кроме слов ``угол между векторами'', нам уже известен, то этим предписывается следующее

Определение 2.3 Углом между векторами и мы назовем число

т.е. положим

(5)

Векторы и называются ортогональными, если угол между ними равен , т.е. если

С помощью введенных понятий можно перенести на евклидовы пространства ряд теорем элементарной геометрии 2.4.

Рассмотрим один пример. Если и -- ортогональные векторы, то естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами и . Докажем, что

т.е. квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его непараллельных сторон (теорема Пифагора).

Доказательство. По определению квадрата длины вектора

В силу дистрибутивности скалярного произведения (аксиома 3 )

В силу ортогональности векторов и

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Эту теорему можно обобщить: если векторы попарно ортогональны, то

25. Ортонормированный базис.

В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортонормированными базисами. Эти базисы играют ту же роль, что и декартов прямоугольный базис в аналитической геометрии. Перейдем к определению ортонормированного базиса.
Определение. Будем говорить, что n элементов e₁,...,e_n n-мерного евклидова пространства Е образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т. е. если

Для того чтобы установить корректность сформулированного определения, следует доказать, что входящие в это определение элементы e₁,...,e_n образуют один из базисов рассматриваемого n-мерного пространства Е, а для этого, в силу теоремы 2.5, достаточно доказать, что эти элементы e₁,...,e_n линейно независимы, т.е. что равенство

α₁e₁ + α₂e₂+... + α_n e_n = 0 (4.11)

возможно, лишь когда α₁ = α₂ =... = α_n = 0.
Докажем это. Пусть k — любой из номеров 1,2,...,n. Умножая равенство (4.11) скалярно на элемент е_k и пользуясь аксиомами скалярного произведения и соотношениями (4.10), мы получим, что α_k= 0.
Докажем теперь следующую основную теорему.
Теорема 4.3. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве Е существует ортонормированный базис.
Доказательство. Согласно определению размерности в пространстве Е найдется n линейно независимых элементов f₁, f₂,..., f_n.
Докажем, что можно построить n элементов e₁,e₂ ,...,e_n, линейно выражающихся через f₁, f₂,..., f_n и образующих ортонормированный базис (т.е. удовлетворяющих соотношениям (4.10)).
Проведем доказательство возможности построения таких элементов e₁,e₂ ,...,e_n методом математической индукции.

Если имеется только один элемент f₁, то для построения элемента e₁ с нормой, равной единице, достаточно нормировать элемент f₁, т.е. умножить этот элемент на число , обратное его норме (напомним, что среди линейно независимых элементов f₁, f₂,..., f_n не может быть нулевого элемента, так что норма f₁ больше нуля). Мы получим при этом элемент e₁ = f₁ с нормой, равной единице.
Считая, что m — целое число, меньшее n, предположим, что нам удалось построить m элементов e₁,e₂ ,...,e_m, линейно выражающихся через f₁, f₂,..., f_m, попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице. Докажем, что к этим элементам e₁,e₂ ,...,e_m можно присоединить еще один элемент e_m+1, линейно выражающийся через f₁, f₂,..., f_m+1, ортогональный к каждому из элементов e₁,e₂ ,...,e_m и имеющий норму, равную единице.
Убедимся в том, что этот элемент e_m+1 имеет вид

e_m+1 = α_m+1 [f_m+1 - (f_m+1,e_m),e_m - (f_m+1,e_m-1),e_m-1 -... - (f_m+1,e₁)e₁], (4.12)

где α_m+1 — некоторое вещественное число.
В самом деле, элемент e_m+1 линейно выражается через f₁, f₂,..., f_m+1 (в силу того, что он линейно выражается через e₁,e₂ ,...,e_m, f_m+1, акаждый из элементов e₁,e₂ ,...,e_m линейно выражается через f₁, f₂,..., f_m).
Отсюда сразу же следует, что при α_m+1≠ 0 элемент e_m+1 заведомо не является нулевым (ибо, в противном случае, являлась бы нулевым элементом некоторая линейная комбинация линейно независимых элементов f₁, f₂,..., f_m+1 , в которой, в силу (4.12), отличен от нуля коэффициент при f_m+1).
Далее из того, что элементы e₁,e₂ ,...,e_m попарно ортогональны и имеют нормы, равные единице, и из соотношения (4.12) сразу же вытекает, что скалярное произведение (e_m+1, e_k) равно нулю для любого номера k, равного 1, 2,..., m.
Для завершения индукции остается доказать, что число α_m+1 можно выбрать так, что норма элемента (4.12) будет равна единице. Выше уже установлено, что при α_m+1≠ 0 элемент e_m+1, а, стало быть, и элемент, заключенный в (4.12) в квадратные скобки, не является нулевым.
Стало быть, для того чтобы нормировать элемент, заключенный в квадратные скобки, следует взять число α_m+1 обратным положительной норме этого, заключенного в квадратные скобки, элемента. При этом норма e_m+1 будет равна единице. Теорема доказана.
Доказанная теорема приводит к следующему осуществляемому шаг за шагом алгоритму построения по данной системе n линейно независимых элементов f₁, f₂,..., f_n системы n попарно ортогональных элементов e₁,e₂ ,...,e_n, норма каждого из которых равна единице:

Указанный алгоритм обычно называют процессом ортогонализации линейно независимых элементов f₁, f₂,..., f_n.
Замечание. Конечно, в каждом n-мерном евклидовом пространстве Е существует много ортонормированных базисов.

26. Векторное произведение векторов, его свойства.

27. Смешанное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл.

28. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

29. Общее уравнение прямой на плоскости.

30. Уравнение прямой, проходящей через точку

31. Уравнение прямой, проходящей через две и . Уравнение прямой в отрезках.

32. Уравнение прямой, проходящей через , перпендикулярно

33. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия ∥, 􀙣 двух прямых.

34. Расстояние от точки до прямой, заданной уравнением

35. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору

36. Общее уравнение плоскости.

37. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, не лежащие на одной прямой.

38. Угол между двумя плоскостями.

39. Условия ∥, 􀙣 двух плоскостей.

40. Расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением

41. Векторное уравнение прямой в пространстве.

42. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

43. Канонические уравнения прямой в пространстве.

44. Уравнение прямой, проходящей через две точки

45)

46)

47)

48)

49,50)

51)

52)

55)

56)

57)

58)

59)

60)

61)

62)

63)

64)

65,66)

Дата добавления: 2015-08-09