Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Формула Муавра позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид: zⁿ = |z|ⁿ (cos nφ + i sin nφ)

где r - модуль, а φ - аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа: z^1/n = |z|^1/n (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n), k = 0, 1,...,n-1

Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример 9

Вычислить (1 + i)10.

Решение:

Пример 10

1)

, k = 0, 1, 2 Þ

Þ ,

,

.

Ответ:

Пример 11

,

.

Дата добавления: 2015-08-09