Теоретическая и техническая прочности. Теория Гриффитса

Вопросы прочности и разрушения твердых тел изучаются различными специалистами: теоретиками в области физики твердого тела, физиками-экспериментаторами, металлургами и инженерами, изыскивающими пути улучшения механических свойств конструкционных материалов.

Физиками-теоретиками было установлено, что величина сил притяжения и отталкивания между атомами зависит от межатомного расстояния.

На рис.22.10 показана зависимость сил взаимодействия атомов от межатомного расстояния. Кривая 1 – сила притяжения между атомами, кривая 2 – сила отталкивания, кривая 3 – результирующая сила. Через обозначено межатомное расстояние, - половина длины волны аппроксимирующей синусоиды. При малых межатомных расстояниях наклон кривой силы отталкивания больше, чем кривой притяжения, поэтому наклон кривой суммарного взаимодействия положителен (для малых расстояний) и его значение становится равным нулю при достижении межатомного расстояния , соответствующего условию равновесия двух атомов при действии силы сцепления. Притяжение атомов есть результат низкоэнергетического состояния валентных электронов, тогда как причиной отталкивания является перекрытие заполненных уровней, происходящее по мере уменьшения расстояния между соседними атомами.

Рис.22.10

Для того чтобы увеличить расстояние между атомами, находящимися в равновесии, на величину , необходимо приложить растягивающее напряжение. Считая силу взаимодействия равной этому напряжению, его можно приближенно выразить в виде гармонической функции расстояния

, (22.14)

где - теоретическая прочность сцепления атомов.

Напряжению и перемещению соответствует работа на единицу площади, равная при разрушении площади под отрезком кривой напряжения в пределах от =0 до . Таким образом,

. (22.15)

Если энергия на единицу площади, расходуемая при создании новой поверхности, равная , связана исключительно с работой разрушения, то

. (22.16)

В случае малых перемещений в области линейной упругости справедливы уравнения (22.14), с одной стороны, и закон Гука, с другой стороны, т.е.

. (22.17)

Исключая , получим , что в комбинации с уравнением (22.16) дает выражение для теоретической прочности:

. (22.18)

Если из рассчитываемого материала изготовить образец и разрушить его, то можно получить значение технической или экспериментальной прочности. Сопоставление ее с теоретической прочностью показывает, что техническая прочность в десятки и даже сотни раз меньше теоретической. Объяснение столь резкой разницы впервые было дано в 1920 г. академиком А.Ф.Иоффе на следующем примере: им были испытаны два кристалла поваренной соли, второй из которых он выдерживал некоторое время в горячей воде. Если прочность первого кристалла равнялась нескольким мегапаскалям, то прочность второго была более высокой – около 2000 МПа, что лишь в два раза меньше теоретического значения прочности для поваренной соли.

Такое существенное различие в экспериментальных прочностях объясняется тем, что первый образец имел большое количество поверхностных дефектов (щербины, царапины, трещины), второй же образец, лишившись поверхностного слоя, освободился от них. Отсюда вывод: чем совершеннее структура материала, тем ближе его техническая прочность к теоретической.

Интенсивные исследования в области получения чистых металлов позволили еще в 30-х гг. академикам С.Н.Журкову и А.П.Александрову достигнуть чрезвычайно высокой технической прочности на кварцевых нитях ( =13∙10³ МПа), а на стеклянных нитях техническая прочность равнялась =6∙10³ МПа. Позднее в Физико-техническом институте им. А.Ф.Иоффе профессором А.В.Степановым были получены нитевидные монокристаллы («усы») некоторых металлов с прочностью около 10000 МПа. Если учесть, что прочность конструкционных сталей колеблется в пределах 300...800 МПа, то огромная разница в прочности налицо: исправление дефектной структуры кристаллов увеличивает их прочность на несколько порядков и приближает ее к теоретическому значению, которое можно приближенно считать равным .

Эксперименты по упрочнению кристаллов, а также многочисленные случаи преждевременного разрушения конструкций и сооружений при напряжениях, значительно меньших расчетных, показали, недостаточность развитых представлений о прочности как о постоянной материала. Такое значительное различие между теоретической и реальной прочностью материалов на современном уровне объясняется следующими факторами:

- значительными отклонениями от строгого, регулярного расположения атомов в кристаллической решетке материала, т.е. дефектностью структуры материала;

- технологическими нарушениями сплошности материала – трещинами.

Несоответствие между теоретической прочностью межатомных связей и экспериментальной прочностью натолкнуло английского ученого А.Гриффитса на мысль, что большое расхождение в прочностях объясняется наличием мелких трещин в однородном материале, которые приводят к большой концентрации напряжений в упругом состоянии. Появившиеся в 1921 и 1924 гг. работы Гриффитса по теории трещин считаются основополагающими в области теоретических исследований механики разрушения.

Рассмотрим бесконечную пластину единичной толщины с центральной поперечной трещиной длиной 2 . Края трещины неподвижны, а напряжение в ней равно (рис.22.3, а).

Рис.22.11

На рис.22.11, б приведена диаграмма «нагрузка-удлинение». Запасенная в пластине упругая энергия представлена площадью ОАВ. Если длина трещины увеличится на величину , то жесткость пластины уменьшится (линия ОС); это означает, что нагрузка несколько уменьшится, поскольку края пластины неподвижны. Следовательно, упругая энергия, запасенная в пластине, уменьшится до величины, равной ОСВ. Увеличение длины трещины от до приведет к высвобождению упругой энергии, равной по величине площади ОАС.

Если пластина нагружена до более высокого напряжения, то при увеличении длины трещины на величину освободится большая энергия. Гриффитс предположил, что трещина будет расти лишь в том случае, если освобождаемая при этом энергия достаточна для обеспечения всех затрат энергии, связанных с этим ростом. В противном случае необходимо увеличить напряжение. Треугольник ODE иллюстрирует энергию, выделяемую при распространении трещины.

Условие, необходимое для роста трещины, следующее:

, (22.19)

где - упругая энергия;

- энергия, необходимая для роста трещины.

Основываясь на расчетах, Гриффитс получил выражение для в виде

(22.20)

на единицу толщины пластины, где - модуль упругости первого рода.

Величину называют скоростью высвобождения упругой энергии, или трещинодвижущей силой.

Поверхностная энергия пластины, связанная с наличием в ней трещины:

, (22.21)

где - удельное поверхностное натяжение, вводимое для твердого тела по аналогии с таким же понятием для жидкости.

Энергию, расходуемую на распространение трещины, найдем как

. (22.22)

Приравнивая правые части (22.20) и (22.22), получим

. (22.23)

Вследствие этого возникает хрупкое разрушение, которое характеризуется коэффициентом интенсивности напряжений

. (22.24)

Из анализа уравнений (22.20) и (22.22) видно, что трещина, достигнув критической длины при напряжении , становится неустойчивой.

Этот коэффициент имеет размерность Н/мм^3/2.

Графическое изображение критического состояния представлено на рис.22.12. Из графика видно, что при напряжении меньше критического трещина развиваться не будет. При достижении критического напряжения трещина начинает развиваться неустойчиво.

Рис.22.12

Энергетический метод Гриффитса для идеально хрупких материалов позволяет отвлечься от детального анализа механизма разрыва межатомных связей в конце трещины и установить феноменологическую связь между внешними и внутренними силовыми факторами.

Силовой критерий разрушения – K_1c

Гриффитс вывел свое уравнение для стекла – очень хрупкого материала. Он предполагал, что величина , т.е. энергия, расходуемая на распространение трещины, определяется только поверхностной энергией. В вязких материалах, например, металлах, при вершине трещины образуются пластические деформации. Для образования новой зоны пластических деформаций при вершине трещины необходима большая энергия.

Модель развития трещины для пластического материала показана на рис.22.13.

Рис.22.13

Предполагается, что при нагружении пластины с надрезом в зоне надреза на расстоянии от края пластины появляется пластическая зона диаметром , в которой действует постоянное напряжение. По мере удаления от этой зоны напряжение падает. Поскольку пластическая зона должна быть образована в процессе роста трещины, то энергию, необходимую для распространения трещины, считают равной энергии, необходимой для образования этой трещины. Это означает, что в металлах величина определяется главным образом энергией деформации в пластической зоне; поверхностная энергия в этом случае настолько мала, что ею пренебрегают. Исходя из этих соображений, американский ученый Д.Ирвин, развивая идею Гриффитса, предложил величину

(22.25)

назвать силой, необходимой для распространения трещины на 1 см. Если сила распространения трещины превысит критическое значение , то трещина будет распространяться самопроизвольно. Таким образом, критерием разрушения является

. (22.26)

Для плоского напряженного состояния

, (22.27)

а при плоском деформированном состоянии

, (22.28)

где - коэффициент Пуассона материала;

- длина трещины, мм;

- действующее напряжение, МПа;

- модуль упругости первого рода материала, МПа.

Величина достигает своего критического значения при критическом значении , т.е. опасность разрушения определяется величиной . Если в это произведение включить , то получим ту же зависимость, которая в свое время была получена Гриффитсом:

, (22.29)

Предельное значение коэффициента Ирвин обозначил через и назвал коэффициентом вязкости разрушения.

Величина играет в механике разрушения доминирующую роль, определяя вязкость разрушения материала при достижении критической интенсивности напряжения. Коэффициент имеет размерность Н/мм^3/2.

Важность данной характеристики общепризнанна. Сложность этого мероприятия состоит в трудоемкости методов оценки , особенно для пластических материалов и сплавов, поскольку требуются испытания образцов чрезвычайно больших размеров. Так, для стали с пределом прочности 500...700 МПа для создания плоской деформации при комнатной температуре необходимо проводить испытания на образцах толщиной 250 мм, высотой 610 мм, шириной 635 мм, для титановых сплавов соответственно мм.

В настоящее время используются два метода определения коэффициента вязкости разрушения : статический и циклический.

Статический метод определения заключается в том, чтобы установить величину нагрузки, вызывающей «лавинный» рост трещины. При этом каждому образцу и характеру приложения напряжений соответствует критический размер трещины, определяющий переход от медленного распространения к быстрому. Расчетная формула для определения имеет вид

, (22.30)

где - калибровочный коэффициент, определяемый характером нагружения, размерами образца и надреза трещины;

- напряжение в опасном сечении, соответствующее началу разрушения образца;

- критическая длина трещины.

Исследованиями установлено, что чем больше толщина образца, тем меньше зона пластической деформации и тем быстрее происходит процесс хрупкого разрушения методом отрыва, т.е. вершина трещины образца находится ближе к плоскому напряженному состоянию, чем к плоскому деформированному состоянию.

Разрушение в условиях плоской деформации при быстром распространении трещины ограничивает возможную минимальную зону пластической деформации. Уменьшение пластической деформации в приповерхностных слоях за счет увеличения толщины образца приводит к «прямому» излому без боковых сколов. При этом достигает некоторого предела, которым и является (рис.22.14).

Рис.22.14

Поскольку значения являются искомыми, толщина образца предварительно выбирается в зависимости от отношения . В табл.22.1 представлены рекомендуемые толщины образцов в зависимости от .

Таблица 22.1

	Толщина , мм
До 0,005
0,005...0,0057
0,0057...0,0062
0,0062...0,0065
0,0065...0,0071
0,0071...0,0080
0,0080...0,0095
0,0095 и более	6,5

Во время проведения опыта при определенной величине нагрузки на образец часто наблюдается предкритическое раскрытие трещины, за которым при дальнейшем повышении нагрузки следует скачок трещины.

Циклический метод определения заключается в том, что при одном или нескольких уровнях напряжений испытывают на усталость цилиндрические или плоские образцы (гладкие или с надрезом) до разрушения. Затем на измломе определяют длину (при плоском образце со сквозной щелью) или глубину (при цилиндрическом образце) критической усталостной трещины. Метод был предложен профессором В.С.Ивановой.

Для цилиндрических образцов при испытании на изгиб с вращением (обычная выносливость)

, (22.31)

где - действующее максимальное брутто-напряжение цикла;

- критическая длина трещины.

На величину , определяемую циклическим методом, форма образцов и амплитуда нагружения не оказывают влияния. Результаты идентичны при испытании на выносливость или на малоцикловую усталость, что позволяет в сравнительно короткое время накопить по важнейшим машиностроительным материалам необходимые данные по новым критериям разрушения , . Различия в значения при определении статическими и циклическими методами не превышают 6%.

Для количественной оценки нового критерия прочности с основной механической характеристикой в табл.22.2 приведены данные трех широко распространенных материалов.

Таблица 22.2

Материал	, МПа	, Н/мм^3/2
Сталь
Сплав алюминия
Сплав титана

Доминирующую роль величины в механике разрушения необходимо учитывать при выборе материалов для создания той или иной конструкции.

Дата добавления: 2015-08-13