Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

ЗАДАЧА 17 Полное исследование функций и построение графика.

Читайте также:
  1. V1. Построение корпоративной информационной системы
  2. А. Исследование первого типа
  3. А.2.1.1.1. Структура функций
  4. А.2.1.2. Конфигурирование функций
  5. Авторы посвящают это исследование памяти погибших коллег
  6. Б. Исследование второго типа
  7. Базовый набор специальных функций управления и управленческих работ при выполнении СМР в аппарате генподрядчика

Для полного исследования функции и построения ее графика рекомендуется следующая схема:

А) найти область определения, точки разрыва; исследовать поведение функции вблизи точек разрыва (найти пределы функции слева и справа в этих точках). Указать вертикальные асимптоты.

Б) определить четность или нечетность функции и сделать вывод о наличии симметрии. Если , то функция четная, симметрична относительно оси OY; при функция нечетная, симметрична относительно начала координат; а если – функция общего вида.

В) найти точки пересечения функции с осями координат OY и OX (если это возможно), определить интервалы знакопостоянства функции. Границы интервалов знакопостоянства функции определяются точками, в которых функция равна нулю(нули функции) или не существует и границами области определения этой функции. В интервалах, где график функции расположен над осью OX, а где – под этой осью.

Г) найти первую производную функции, определить ее нули и интервалы знакопостоянства. В интервалах, где функция возрастает, а где убывает. Сделать заключение о наличие экстремумов (точек, где функция и производная существуют и при переходе через которые меняет знак. Если меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум, а если с минуса на плюс, то минимум). Найти значения функции в точках экстремумов.

Д) найти вторую производную , ее нули и интервалы знакопостоянства. В интервалах, где < 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.

Е) найти наклонные (горизонтальные) асимптоты, уравнения которых имеют вид ; где

.

При график функции будет иметь две наклонные асимптоты, причем каждому значению x при и могут соответствовать и два значения b.

Ж) найти дополнительные точки для уточнения графика (если в этом есть необходимость) и построить график.

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: А) область определения ; функция непрерывна в области определения; – точка разрыва, т.к. ; . Тогда – вертикальная асимптота.

Б)

т.е. y(x)– функция общего вида.

В) Находим точки пересечения графика с осью OY: полагаем x=0; тогда y(0)=–1, т.е. график функции пересекает ось в точке (0;-1). Нули функции (точки пересечения графика с осью OX): полагаем y=0; тогда

.

Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, значит нулей не существует. Тогда границей интервалов знакопостоянства является точка x=1, где функция не существует.

Знак функции в каждом из интервалов определяем методом частных значений:

Из схемы видно, что в интервале график функции расположен под осью OX, а в интервале –над осью OX.

Г) Выясняем наличие критических точек.

.

Критические точки (где или не существует) находим из равенств и . Получаем: x1=1, x2=0, x3=2. Составим вспомогательную таблицу

 

Таблица 1

(В первой строке записываются критические точки и интервалы, на которые делят эти точки ось OX; во второй строке указываются значения производной в критических точках и знаки на интервалах. Знаки определяются методом частных значений. В третьей строке указываются значения функции y(x) в критических точках и показывается поведение функции – возрастание или убывание на соответствующих интервалах числовой оси. Дополнительно обозначается наличие минимума или максимума.

Д) Находим интервалы выпуклости и вогнутости фукнции.

; строим таблицу как в пункте Г); только во второй строке записываем знаки , а в третьей указываем вид выпуклости. Т.к. ; то критическая точка одна x=1.

Таблица 2

Точка x=1 является точкой перегиба; т.к. ïî îáå ñòîðîíû îò òî÷êè âèä âûïóêëîñòè ðàçëè÷åí.

Е) Находим наклонные и горизонтальные асимптоты

Тогда y=x – наклонная асимптота.

Ж) По полученным данным строим график функции

ЗАДАЧА 18.

 


Дата добавления: 2015-08-03; просмотров: 203 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ЗАДАНИЕ| Проблема роли искусства в жизни человека.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)