Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Эллипс. Определение эллипса и вывод его конического уравнения

Читайте также:
  1. IX. Империализм и право наций на самоопределение
  2. XII. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОБЕДИТЕЛЕЙ И ПРИЗЕРОВ
  3. А.2.1.1. Определение требований на уровне функциональной модели
  4. А.2.2.1. Определение требований на уровне организационной модели
  5. А.2.3.1. Определение требований на уровне модели данных
  6. А.2.4.1. Определение требований на уровне модели выходов
  7. Анализ, определение потребности и расчеты количества заказываемых ресурсов.

 

Эллипс – это плоская кривая (множество точек плоскости), для произвольной точки которой (точка М рис. 46) сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси эллипса - (рис. 13.51). Расстояние между фокусами F1 и F2 равняется , его называют фокусным. Длина малой оси эллипса равняется 2b. Точка пересечения осей эллипса является его центром, концы осей — вершинами эллипса.

В соответствии с определением эллипса и принятых условных обозначений можно доказать, что требуется, чтобы сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов F1 и F2), являющихся величиной постоянной должна быть больше расстояния между фокусами.

F1M + F2M = (1)

F1M + F2M >F1F2,

то 2а > 2с,

т. е. а > с (2)

Из определения эллипса непосредственно вытекает следующий способ построения его при помощи нити: если концы не­растяжимой нити длины закрепить в точках F1, F2 и на­тянуть нить острием карандаша, то при движении острия оно будет вычерчивать эллипс с фокусами F1, F2 и суммой фокальных радиусов 2а. Выполнив это построение факти­чески, можно наглядно убедиться, что эллипс представляет собой выпуклую замкнутую линию (овал), симметричную от­носительно прямой F1F2 а также относительно прямой, ко­торая проходит перпендикулярно к отрезку F1F2 через его середину (рис. 46).

 

Рис.46.

В AutoCAD для построения эллипса имеются две команды из меню «Рисование-Эллипс»: «По центру» и «Ось, конец». При использовании команды «По центру» параметрами являются координаты точки центра О, конца большей оси А, конца меньшей оси В. Таким образом отрезок ОВ является меньшим радиусом R2, а отрезок ОА – большим радиусом R1. При использовании команды «Ось конец» параметрами являются начальная и конечная координаты одной из осей, и координата любого конца другой оси.

Пример построения эллипса

 

Установить форму эл­липса можно аналитически при помощи исследования его уравнения.

Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F1, F2 (вместе с тем мы считаем данными а и с). Введем на плоскости декартову прямоуголь­ную систему координат, оси которой расположим специальным образом по отношению к этому эллипсу; имен­но, в качестве оси абсцисс мы возьмем прямую F1F2, считая ее направленной от F1 к F2 , начало координат поместим в середине отрезка F1F2 (рис. 46). Выведем уравнение эллип­са в установленной системе координат.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обо­значим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов (r1 = F1М, r2 = F2М). Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда r1 + r2 = . (3)

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве (3) заменить переменные r1 и r2 их выражениями через коорди­наты х, у.

Заметим, что, так как F1F2 =2c и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание и применяя формулу (2), находим:

r1 = , r2 = . (4)

Заменяя r1 и r2 в равенстве (3) найденными выражениями, получаем:

(5)

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса в назначенной системе координат, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит на этом эллипсе. Дальнейшие наши выкладки имеют целью получить уравнение эллипса в более простом виде.

Поместим в уравнение (5) первый радикал, после чего возведем обе части равенства в квадрат, получим:

(6)

или

(7)

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

(8)

откуда

(9)


Дата добавления: 2015-08-03; просмотров: 268 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЕДИНОЙ СИСТЕМЫ КОНСТРУКТОРСКОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ | ВИДЫ КОНСТРУКТОРСКИХ ДОКУМЕНТОВ И КОМПЛЕКТНОСТЬ | ФОРМАТЫ ЧЕРТЕЖЕЙ И ОФОРМЛЕНИЕ ЧЕРТЕЖНЫХ ЛИСТОВ | Размеры дополнительных форматов | Минимальные параметры линий | Сопряжение двух прямых | Сопряжение дуг двух окружностей с помощью прямой | Овал. Определение овала и способы его построения | Овоид. Определение овоида и способы его построения | Завиток. Определение завитка и способы его построения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Лекальные кривые| Извлекая корень из обеих частей этого равенства, получим

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)