Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

А. Интерполяционный полином в форме Лагранжа.

Читайте также:
  1. B. Вычитания всех текущих трансфертов, кроме социальных трансфертов в натуральной форме, подлежащих выплате этой единицей или этим сектором.
  2. E-mail: center_marich@ukr.net). Заявки на регистрацию в произвольной форме, а также по телефону рассматриваться не будут!
  3. H. Социальные трансферты в натуральной форме
  4. I. О ФОРМЕ ДУШ 1 страница
  5. I. О ФОРМЕ ДУШ 2 страница
  6. I. О ФОРМЕ ДУШ 3 страница
  7. I. О ФОРМЕ ДУШ 4 страница

 

Представим искомый полином в виде

, (4)

где полиномы степени , удовлетворяющие условиям

 

,

. (5)

Поэтому

. (6)

 

b. Интерполяционный полином в форме Ньютона.

 

Для построения интерполяционного полинома Ньютона нам понадобится понятие разделенной разности.

Пусть в различных точках , известны значения функции . Разделенные разности нулевого порядка

есть значения функции ; разделенные разности первого порядка определяются равенствами

, (7)

разделенные разности второго порядка равенствами

, (8)

и в общем случае разности -го порядка определяются через разности -го порядка по формулам

 

. (9)

Имеет место равенство

 

. (10)

Доказательство проведем по индукции. При равенство верно исходя из определения (7). Пусть формула (10) верна при . Тогда

 

(11)

 

В равенстве (11) слагаемые содержащие и встречаются только по одному разу, причем с коэффициентами имеющими требуемый вид. Остальные встречаются дважды, и коэффициент при равен

 

,

 

что и требовалось доказать.

 

Перейдем к выводу формулы полинома Ньютона, Для этого перепишем интерполяционный полином Лагранжа в виде:

 

, (12)

здесь интерполяционный полином Лагранжа по узлам и . Полином

 

(13)

 

имеет степень и обращается в нуль в точках , поэтому его можно представить в виде

 

, (14)

 

где коэффициент при в полиноме .

 

Из (6) и (10) следует, что

 

. (15)

 

Учитывая (12)–(15), получаем

 

. (16)

Интерполяционный полином, записанный в виде (16) принято называть интерполяционным полиномом Ньютона.

Отметим, что в силу единственности решения системы (3), полиномы Лагранжа и Ньютона представляют собой различные формы записи одного и того же интерполяционного полинома.

 

2. Погрешность интерполирования.

 

Для того, чтобы оценить разность между и построенным интерполяционным полиномом , предположим, что имеет непрерывную производную на отрезке .

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

 

, (17)

где

,

 

и выберем из условия , где - точка, в которой оценивается погрешность. Тогда

 

.

При таком выборе функция имеет нули в - х точках

. На основании теоремы Ролля, ее производная

обращается в нуль по крайней мере в точке. Повторяя аналогичные рассуждения, заключаем, что обращается в нуль хотя бы в одной точке , т.е.

 

.

Следовательно, в силу того что ,

 

, (18)

и остаточный член имеет вид.

 

, (19)

откуда

, (20)

где

.

Замечание.

 

Оценка (20) дает приемлемый результат, если точка находится на отрезке (интерполяция). В случае, когда точка лежит за пределами отрезка (экстраполяция), множитель резко возрастает. Поэтому на практике экстраполяцию стараются не применять или пользоваться полиномами невысокой степени.

 

3. Интерполяционный полином Эрмита.

 

 

Пусть в точках заданы не только значения функции , но может быть и значения производных:

 

. (21)

 

Требуется построить полином степени , где , удовлетворяющий условиям:

 

. (22)

 

Докажем, что такой полином существует и единственен.

 

Пусть

.

 

Условия (22) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений порядка .

Рассмотрим соответствующую однородную систему

 

. (23)

 

Выполнение условий (23) означает, что полином имеет не менее нулей с учетом кратности. Учитывая, что степень полинома равна , то это возможно лишь в случае, когда , т.е. однородная система (23) имеет только тривиальное решение .

Следовательно, неоднородная система уравнений (22) всегда совместна и имеет единственное решение. Аналогично предыдущему можно получить формулу погрешности интерполяции

 

, (24)

где

.

 

Для построения полинома Эрмита, удобно использовать аппарат разделенных разностей с кратными узлами. Строгое обоснование этого метода выходит за рамки нашего пособия, поэтому ограничимся простейшим примером.

Пусть требуется построить интерполяционный полином Эрмита по значениям:

.

 

При построении таблицы разделенных разностей с кратными узлами полагают:

 

и так далее.

Искомый полином имеет следующий вид

 

.

 

Далее

 

.

 

Откуда

 

.

 

 

4. Интерполирование сплайнами

 

 

С увеличением числа узлов интерполирования растет степень полинома, что приводит к росту объема вычислений, а чтобы оценка погрешности (20) была конструктивной, требуется высокая гладкость приближаемой функции. Поэтому в середине прошлого века весьма плодотворной оказалась идея использовать кусочно-полиномиальную интерполяцию при помощи полиномов третьей степени, так называемых кубических сплайнов.

 

Пусть на отрезке выбрано некоторое множество узлов

 

, (25)

 

в которых заданы значения функции .

 


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 112 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Наилучшее приближение в линейном нормированном пространстве. | Численное дифференцирование. | Численное интегрирование. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Интерполирование функций.| Определение.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.017 сек.)