Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

линейные Дифференциальные уравнения высших порядков

Читайте также:
  1. II. Акты высших органов судебной власти
  2. III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
  3. б) ОБРАЗОВАНИЕ НЕРАСТВОРИМЫХ СОЛЕЙ ВЫСШИХ ЖИРНЫХ КИСЛОТ
  4. Балансовые уравнения
  5. Безразмерные уравнения движения.
  6. Билет 36. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля. Ток смещения. Уравнения Максвелла в интегральной форме
  7. Виды высших чувств

 

Уравнение вида

(11.1)

называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка. Здесь (i=0,…,n) и непрерывные функции. Особенность таких уравнений: здесь линейность относительно у и ее производных, т.е. искомая функция и все ее n производных входят в уравнение только в первой степени (между собой они не перемножаются).

Если в (11.1) правая часть равна нулю, т.е. , то уравнение называется однородным. Если , то уравнение (11.1) называется неоднородным.

Теорема11.1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (11.1) равно сумме общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения (обозначим это решение через ) и произвольного частного решения исходного неоднородного уравнения (обозначим через ), то есть

(11.2)

 

12. линейные однородные Дифференциальные уравнения

Уравнение вида

(12.1)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка. Здесь (i=0,…,n) непрерывные функции.

Не теряя общности рассуждения, рассмотрим линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка:

(12.2)

Понятия, аналогичные приведенным ниже верны и для дифференциальных уравнений более высокого порядка.

Теорема 12.1. Если и какие либо два частных решения линейного однородного дифференциального уравнения (12.2), то функция , где - постоянные, также является решением этого уравнения.

Определение 1. Функции и называются линейно независимыми при x (a,b), если (здесь R) тогда и только тогда, когда одновременно .

Определение 2. Функции и называются линейно зависимыми при x (a,b), если в равенстве хотя бы одно из чисел или .

Например, если , то функция зависит от таким образом: , если же , то .

Определение 3. Определителем Вронского (или вронскианом) для двух дифференцируемых и называется определитель:

(12.3)

Теорема 12.2. Если дифференцируемые функции и линейно зависимы при x (a,b), то их вронскиан при x (a,b).

Теорема 12.3. Если функции , линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (12.2) при x (a,b), то их вронскиан 0 при любом x (a,b).

Теорема 12.4. Если два частных решения , ЛОДУ (12.2) образуют фундаментальную систему решений на (a,b) (т.е.они линейно независимы или их вронскиан не равен нулю), то функция

, (12.4)

где , произвольные постоянные является общим решением этого уравнения.

Рассмотрим частный случай уравнений вида (12.2), когда коэффициенты при постоянные величины, а не переменные, зависящие от х. Итак, имеем линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами

, (12.5)

(. Частные решения уравнения (12.5) ищут в виде функции

. (12.6)

Подставив вместе с производными и в равенство (12.5) и сократив на , получим

. (12.7)

Уравнение (12.7) называется характеристическим уравнением. Формально, для его составления, можно в уравнении (12.5) заменить у на 1, на к, на . При решении квадратного уравнения (12.7) (, ) возможны три случая: . Для каждого случая приведем по два частных линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему решений ЛОДУ (12.5). Согласно теореме 12.4 запишем по формуле (12.4): общее решение.

1. Корни характеристического уравнения (12.7) действительные числа и они различны , т.е.

.

Частными решениями ЛОДУ являются функции вида (12.6), т.е. , , они линейно независимы (можно показать, что их вронскиан не равен нулю). Общее решение уравнения (12.5) есть функция , т.е.:

. (12.8)

2. Корни характеристического уравнения (12.7) действительные числа и они совпадают , т.е.

.

Одно решение ЛОДУ (12.5) есть функция вида (12.6) , а второе частное решение (можно функцию и ее производные подставить в уравнение и убедиться, что она действительно является решением (12.5) при условии: , т.е. ). Эти две функции и линейно независимы (их вронскиан не равен нулю), следовательно общее решение (12.5) записывается: :

. (12.9)

3. Корни характеристического уравнения (12.7) комплексные числа , т.е.

.

Функции вида (12.6) комплексные функции, поэтому в качестве решений ЛОДУ согласно теореме 12.1 можно взять их линейные комбинации. Опуская выкладки, сразу запишем частные действительные решения ЛОДУ (12.5) и , они линейно независимы (их вронскиан не равен нулю). Общее решение имеет вид:

. (12.10)

 

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 160 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ВНИМАНИЕ! Аккуратно обращайтесь с персональным компьютером и его периферийными устройствами. Соблюдайте требования эргономики. Проверьте наличие заземления устройств.| Металдарды кесумен өңдеу тәсілдері

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)