Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема Кронеккера-Капелли (о разрешимости СЛАУ)

Читайте также:
  1. Билет 28. Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов и молекул (орбитальный, спиновый и прецессионный). Типы магнетиков. Теорема Лармора
  2. Внешние эффекты. Положит. и отрицат. внешн. эффекты и проблема эффективного размещения ресурсов в рын. экономике. Теорема Коуза
  3. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Опыт Эрстеда. Магнитный поток. Теорема Остроградского-Гаусса. Магнитный момент контура с током. Графическое изображение магнитных полей.
  4. Поток вектора. Поток вектора напряженности и Эл. Смещения. Расчет потока вектора E и D поля точечного заряда. Теорема Остроградского-Гаусса
  5. Счетные множества. Теорема о существовании подмножества в бесконечном множестве
  6. Теорема 1
  7. Теорема 1 (о нетривиальных решениях однородной системы)

Вопрос о разрешимости системы в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронеккера-Капелли

Чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Не проводя строго доказательства теоремы, поясним его. В процессе преобразования системы уравнений (6.1) к виду (6.3) с помощью элементарных преобразований ранги матрицы системы и расширенной матрицы не изменяются.

В п. 1.6 было установлено, что система уравнений (6.3) совместна тогда и только тогда, когда все свободные члены равны нулю. В этом случае ранг матрицы и ранг расширенной матрицы системы (6.1) совпадают (оба равны ).

Для совместных систем линейных уравнений справедлива следующая теорема.

Теорема о числе решений системы

Пусть ранг матрицы, составленной из коэффициентов системы линейных уравнений, равен рангу расширенной матрицы. Тогда, если ( – число неизвестных системы), то система имеет единственное решение; если , то система имеет бесчисленное множество решений.

В случае определенности СЛАУ для ее решения подходит любой из трех методов: Крамера, Гаусса, матричный.

Если же система не определена, тогда некоторым неизвестным, которые называются свободными, можно придавать произвольные значения, а неизвестных, называемых главными (базисными), определяются через свободные единственным образом. При этом базисными переменными выбираются те, для которых определитель матрицы, составленный из коэффициентов при них, отличен от нуля. Полученные выражения главных переменных через свободные объявляются решением системы.

 

Пример.

 

Составим расширенную матрицу системы и будем приводить ее к ступенчатому виду методом Гаусса, в итоге определим ее ранг, а ранг основной матрицы системы определим, «закрыв» столбец правых частей.

Ответ: система не совместна.

 

Пример.

Составим основную матрицу системы и найдем ее ранг.

Составим расширенную матрицу системы и найдем ее ранг:

система совместная. система неопределенная. Решим систему методом Гаусса. Преобразования расширенной матрицы системы приводят к системе уравнений вида

, значит, в качестве главных переменных можно выбрать и а свободных неизвестных и .

Запишем систему уравнений в виде

Обратным ходом находим

Из 1-го уравнения

Ответ: система неопределенная

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 139 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ВВЕДЕНИЕ | ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ | Понятие матрицы | Алгебраические операции над матрицами | Матричный способ решения СЛАУ | Исследование систем линейных алгебраических уравнений |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Ранг матрицы и его свойства| Исследование однородной СЛАУ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)