Общее и базисное решение системы уравнений

Полученное в предыдущем примере решение системы называется общим решением системы. Его можно записать в виде точки М (-8 + 2 t; 7 - t; t). Из общего решения можно выделить, так называемые базисные решения, задавая «лишним» (свободным) переменным нулевые значения. Сделаем это для предыдущего примера. Пусть х = 0. Тогда: 7 - t = 0, t = 7; x = 6, x = 7. Получили точку М (0; 6; 7) – первое базисное решение системы уравнений. Пусть х = 0. Тогда: -8 + 2 t = 0, t = 4, x = 3, x = 4. Получили второе базисное решение М (3; 0; 4). Пусть х = 0. Тогда: t = 0, x = 7, x = -8. Получили третье базисное решение М (7; -8; 0).

Если в системе содержится n неизвестных х , х , …, х и она состоит из m линейно независимых уравнений и n = m + k, где к , то любые к штук неизвестных можно считать «лишними» (свободными) и задавать им любые значения, другие же m штук неизвестных (они называются базисными) надо находить.

Определение. Решение системы линейных уравнений называется базисным, если оно выражается точкой, в которой нулевых координат больше или равно количеству свободных неизвестных (если больше, то решение называется вырожденным, если равно, то решение называется невырожденным).

В рассмотренном выше примере все базисные решения оказались невырожденными.

Пример. Найти общее и базисные решения системы

Решение. Умножая первое уравнение системы на (-2) и прибавляя его ко второму уравнению, получим систему

Вычитая из первого уравнения полученной системы второе ее уравнение, получим систему

Принимаем у за свободную переменную. Получаем систему

Следовательно, М (2 - 4 t; t; 3 t), где t R, является общим решением системы. Если х = 0, то t = 0,5, y = 0,5, z = 1,5. Если у = 0,то t = 0, x = 2, z = 0. Если z = 0, то t = 0, х = 2, у = 0. Получили два базисных решения: М (0; 0,5; 1,5), М (2; 0; 0), одно из которых вырожденное.

Дата добавления: 2015-07-26