Формы уравнений движения машин

У р а в н е н и е д в и ж е н и я в и н т е г р а л ь н о й ф о р м е. Основой для вывода уравнения служит соотношение между работой и энергией, вытекающее из теоремы об изменении кинетической энергии системы , которое можно представить в виде равенства . В этом равенстве: – текущее значение кинетической энергии; – начальное значение кинетической энергии; – работа движущих сил, выполненная от начального до текущего момента времени; – работа сил сопротивления, выполненная за то же время.

Величины энергий и работ определяются следующими равенствами:

, , , .

Подставляя эти выражения в вышезаписанное равенство, получаем окончательный вид уравнения:

.

В правой части уравнения подынтегральные выражения представляют собой функции от угла поворота кривошипа, то есть перемещения. Это значит, что данные функции могут быть определены, только если внешние силы также зависят от перемещений. Данное обстоятельство определяет область применения уравнения в интегральной форме.

Так как в правой части уравнения параметры интегрирования и пределы интегрирования совпадают, то подынтегральные выражения можно записать под одним знаком интеграла, то есть

,

где – избыточный момент, определяемый суммой .

Необходимо иметь в виду, что во всех вычислениях приведённые моменты сил должны подставляться в формулы со своими знаками.

У р а в н е н и е д в и ж е н и я в д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й ф о р м е. Внешние силы, действующие в машинах, могут зависеть не только от перемещений, но и от скоростей, и от времени. В этих случаях уравнение в интегральной форме неприменимо. Для исследования динамики таких машин применяют более универсальное уравнение, а именно, уравнение в дифференциальной форме. Оно может быть получено из уравнения в интегральной форме путём дифференцирования его по .

.

Сделав замену и выполнив несложные преобразования, получим окончательно

.

Первое слагаемое левой части представляет собой момент сил инерции, как следствие изменения . Второе слагаемое представляет также момент сил инерции, но как результат изменения .

Часто аргументы в функциях правой части опускают и записывают её так: . Для ротативных машин, у которых, как было сказано, , уравнение приобретает вид , где , поэтому можно записать .

6.4. Исследование пуска машины при силах – функциях перемещений

Для исследования задаются в форме графиков (рис. 6.6):

– приведённый момент движущих сил в функции угла поворота кривошипа (рис. 6.6, а);

– приведённый момент сил сопротивления в функции угла поворота кривошипа (рис. 6.6, а);

– приведённый момент инерции механизмов машины (рис. 6.6, б);

а также

= 0 – значение угловой скорости ведущего звена в начальном положении.

Для исследования используется уравнение динамики в интегральной форме в виде

.

Так как правая часть уравнения является избыточной работой, то для краткости записи уравнение можно представить в форме . Решим данное уравнение относительно : . Обратим внимание на то, что угловая скорость здесь получается как функция от . Это связано с тем, что все составляющие расчётной формулы также зависят от .

Как правило, функции приведенных моментов сил выражаются сложными зависимостями от , а чаще эти зависимости вообще не могут быть найдены в аналитической форме, а только в форме таблиц ряда экспериментальных значений. Поэтому расчёты приходится вести в дискретной форме, введя ранжированную переменную : , где , причём, количество расчётных точек можно выбрать любым, но с таким расчётом, чтобы оно заведомо охватывало весь период пуска машины.

Изобразим графики моментов сил в положительной области системы координат (рис. 6.6, а), перенеся условно график в эту область для удобства дальнейших действий.

Согласно приведённой выше формуле, для расчёта угловой скорости необходимо вычислить избыточную работу в каждом положении механизма. Она вычисляется через площадки, ограниченные ординатами соседних значений и кривыми моментов при этих значениях. Это соответствует действию вычисления определённого интеграла, а физически – вычислению избыточной работы, то есть

, ,

где – избыточная работа, выполненная от начального до – 1-го положения, Дж; – добавочная площадка между i – 1-м и i -м положениями. Так как на малом участке кривую можно заменить отрезком прямой, то указанные фигуры можно рассматривать как трапеции. Поэтому формула для расчёта площадей запишется так:

.

Чёрточки сверху над членами данной формулы указывают на то, что эти члены должны подставляться в виде отрезков, взятых с графика (рис. 6.6, а).

Вычисления по этим формулам дают следующие результаты: , так как все площадки в нулевом положении равны нулю. Это соответствует моменту начала движения машины.

Далее получается:

и т. д.

Подставив полученные значения избыточной работы в приведённую выше формулу и взяв в соответствующем положении с графика (рис. 6.6, б) величину , находим значение угловой скорости в данном, i- м положении. Результаты расчётов угловой скорости представим в виде графика (рис. 6.6, в).

На следующем этапе анализа необходимо найти зависимость времени перехода машины из одного положения в соседнее от угла . Для этого воспользуемся следующими обстоятельствами. Угловая скорость является производной угла поворота по времени, т. е. , откуда . Проинтегрируем это выражение в пределах каждого из интервалов . Вычисление интеграла правой части – задача непростая из-за сложности функции в знаменателе. Поэтому целесообразно воспользоваться приближённой методикой, заключающейся в замене бесконечно малого приращения угла конечной величиной . Если поделить её на среднюю угловую скорость на интервале, то получится искомое время, то есть

.

В итоге получается зависимость между временем движения машины от одного положения до другого и углом поворота ведущего звена между этими положениями . Эту зависимость представим в виде графика (рис. 6.6, г).

Для получения закона движения ведущего звена (звена приведения) в форме зависимости (рис. 6.6, д) теперь достаточно из двух последних графиков (рис. 6.6, в и 6.6, г) исключить параметр . При этом время необходимо отложить вдоль оси абсцисс с нарастающим итогом, т. е. каждый последующий интервал отложить (в некотором масштабе) из конца предыдущего по следующей схеме: . Дифференцирование по времени полученной в виде графика функции даст новую функцию – функцию зависимости углового ускорения звена приведения от времени.

6.5. Исследование установившегося неравновесного движения машины с маховиком при силах – функциях перемещений

В качестве исходных данных должны быть известны приведённые моменты движущих сил и сил сопротивления – и , приведённый момент инерции механизмов машины – , включающий момент инерции маховика и переменную часть – приведённый момент инерции механизмов машины. Кроме этого должно быть задано начальное положение механизма, определяемое углом поворота ведущего звена, и значение угловой скорости ведущего звена в этом положении .

В результате анализа требуется найти максимальное и минимальное значения угловой скорости, её среднюю величину и коэффициент неравномерности движения.

А н а л и т и ч е с к о е р е ш е н и е. На первом этапе решения определяется избыточная работа или по формуле , или по формуле , в которой . При этом, если моменты заданы в виде графиков, что чаще всего бывает, то можно воспользоваться графическим интегрированием или способом площадей, как было описано выше, или другим известным способом.

На втором этапе решения определяется зависимость . Для
этого уравнение в интегральной форме записывается в виде . В этом уравнении и представляет собой конкретное число, определяемое по исходным данным.

Таким образом, получается из уравнения в интегральной форме искомое выражение, из которого легко найти

.

Рассматривая один цикл установившегося движения машины, определяют значений угловой скорости, из которых выбирают и .

По ним находят ,

а затем – коэффициент неравномерности движения .

Г р а ф и ч е с к о е р е ш е н и е. Для графического решения задачи выберем прямоугольную систему координат (рис. 6.7), вдоль оси абсцисс которой в некотором масштабе отложим значения , а вдоль оси ординат – значения кинетической энергии в масштабе .

При этом отрезок оси абсцисс выражает момент инерции маховика, а отрезок оси ординат выражает величину кинетической энергии в начальный момент времени. Через правый конец отрезка проведём вертикальную прямую, а через верхний конец отрезка – горизонтальную прямую. Точка пересечения этих прямых даст начало смещённой системы координат O ′, по оси абсцисс которой будем откладывать переменную часть приведённого момента инерции механизма , а по оси ординат – изменение кинетической энергии , равное избыточной работе . Для удобства дальнейших построений график избыточной работы разместим так, чтобы его ось абсцисс проходила на расстоянии от оси . График повернём по часовой стрелке на 90º и его ось абсцисс совместим с вертикальной прямой, проходящей через конец отрезка . Далее, исключаем параметр из графиков и и строим в правом верхнем углу плавную кривую, соединяя последовательно точки 0, 1, 2, 3, …, n точки 0, 1, 2, 3 верхнем углу кривую, соединяя плавной кривой через конец отрезка ось абсцисс. Полученная кривая зависимости называется диа граммой энергомасс.

Возьмём на кривой диаграммы энергомасс произвольную точку и соединим её с истинным началом O координат диаграммы. Отметим угол, образованный прямой Oi с осью абсцисс, как . Затем опустим перпендикуляр из точки на ось абсцисс. Как видим из рис. 6.7, тангенс угла может быть определён из отношений

,

или

.

Правая часть этого выражения совпадает с правой частью выражения (*), поэтому их левые части также одинаковы, то есть

.

Такие же расчёты можно сделать для любой другой точки диаграммы, поэтому можно утверждать, что прямая, соединяющая любую точку диаграммы энергомасс с истинным началом координат, образует с осью абсцисс этой диаграммы угол, тангенс которого пропорционален половине квадрата угловой скорости звена приведения (ведущего звена) в положении механизма, определяемом данной точкой.

Сформулированное свойство диаграммы энергомасс позволяет определить угловую скорость входного звена механизма в любом его положении. Для определения и необходимо провести из начала координат O прямые, касающиеся кривой графика сверху и снизу. Верхняя прямая образует с осью абсцисс угол , нижняя – угол , причём на основании предыдущего имеем следующие равенства:

из которых находятся значения и , а затем определяется :

.

Наконец, последний расчёт даёт .

Дата добавления: 2015-07-26