Основные определения и законы динамики вращательного движения

Лабораторная работа № M-2

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цель работы

Целью работы является изучение законов вращательного движения, определение момента инерции J маятника Обербека.

Оборудование и принадлежности

Маятник Обербека, секундомер, набор грузов.

Теоретическая часть

Основные определения и законы динамики вращательного движения

Моментом инерции J материальной точки массой m относительно оси вращения называется величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния её до рассматриваемой оси: .

Моментом инерции системы точек (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси:

. (1)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу , где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

Если известен момент инерции J_с тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции J относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера.

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями: .

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу . В векторном виде .

Рисунок 1 – Момент силы

- псевдовектор, его направление определяется по правилу правого винта (рисунок 1).

Модуль момента силы

. (2)

Здесь α – угол между и , r sinα= l – кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения и называется плечом силы.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: сумма моментов сил, действующих на тело относительно оси, равно произведению момента инерции этого тела относительно той же оси на угловое ускорение, приобретаемое телом

, (3)

в векторной форме

.

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

,

где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А;

- импульс материальной точки.

- псевдовектор, его направление определяется по правилу правого винта.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m_i, находящиеся на расстоянии r_i от оси вращения. При вращении эти объемы будут иметь различные линейные
скорости .

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

. (4)

Скорость поступательного движения связана с угловой скоростью ω следующим соотношением: . При этом для абсолютно твердого тела угловая скорость вращения составляющих его частиц одинакова.

С учетом этого, используя (1), запишем (4) в виде .

Т.о. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела

. (5)

Продифференцируем уравнение (5) по времени:

. (6)

Т.е. основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси (3) запишется в виде:

,

- производная момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси.

В векторной форме .

В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда

или , (7)

- это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Рисунок 2 – Опыт со скамьей Жуковского

Продемонстрировать сохранение момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского (рисунок 2). Человек, стоящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, держит в руках гири и вращается с угловой скоростью ω₁ . Если человек опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результате чего возрастет угловая скорость ω₂ его вращения. Закон сохранения момента импульса для этого опыта: J₁ω₁=J₂ω₂.

Дата добавления: 2015-07-24