Часть 2. 1. Найти экстремум функции

1. Найти экстремум функции

1.1. z = 4 х ³ – 3 х ² + у ² + 8 у.

1.2. z = 8 х – х ² + 4 у ³ – 3 у ².

1.3. z = х ³ + у ³ – 3 ху.

1.4. z = 3 х ² – х ³ + 3 у ² + 4 у.

1.5. z = х ² + х ³ – 3 у ² + 2 у.

1.6. z = 8 х ³ – 6 ху – у ³ + 2

1.7. z = х ³ – 6 ху + 8 у ³ + 1

2. По химической технологии, изготовление некоторого продукта осуществляется в двух параллельно работающих агрегатах (см. рис.). Первый агрегат из х ₁ производит Р₁ единиц продукции, второй из х ₂ единиц сырья производит Р₂ единиц продукции. Требуется выбрать нагрузку х_i каждого агрегата так, чтобы общая производительность Р была максимальной, но при этом общая нагрузка S (суммарный расход сырья) была равна 1. В таблице указана зависимость производительности Р _i от нагрузки х_i.

№ варианта	Р1	Р2
2.1.	3 х 1 – 2 х 1^2	2 х 2 – х 2^2
2.2.	4 х 1 – 2 х 1^2	3 х 2 – х 2^2
2.3	2 х 1 – 2 х 1^2	3 х 2 – 2 х 2^2
2.4	2 х 1 – х 1^2	3 х 2 – х 2^2
2.5	3 х 1 – х 1^2	4 х 2 – х 2^2
2.6	4 х 1 – х 1^2	3 х 2 – 2 х 2^2
2.7	3 х 1 – 3 х 1^2	х 2 – 2 х 2^2

3. Решить графически задачу линейного программирования

3.1. В швейном цехе имеет 84 метра ткани. На пошив одного халата требуется 4 метра ткани, а на одну куртку – 3 метра. Сколько следует изготовить халатов и курток для получения наибольшей прибыли от реализации продукции, если халат дает прибыль 16 рублей, а куртка – 13 рублей. Известно, что халатов можно изготовить не более 15, а курток – не более 18 штук.

3.2. Для производства изделий А и В предприятие использует четыре вида деталей: М₁, М₂, М₃, М₄. Расход деталей каждого типа (в штуках), запасы деталей и доход от производства единицы изделий каждого типа даны в таблице. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольший доход.

Тип детали	Расход деталей на единицу изделий	Запасы деталей
А	В
М1 М2 М3 М4	–	–
Доход на единицу продукции	20 руб.	15 руб.

3.3. Известно, что откорм животных экономически выгоден при условии, что каждое животное получает в дневном рационе не менее 6 единиц питательного вещества А, не менее 12 единиц вещества В, не менее 4 единиц вещества С. Для откорма животных используется два вида кормов. В таблице показано, сколько единиц каждого питательного вещества содержится в 1 кг каждого вида корма, а так же цена1 кг корма. Какое количество каждого вида корма необходимо расходовать, чтобы общие затраты были минимальные?

Питательные вещества	Корм
I	II
А В С
Цена корма	5 руб.	6 руб.

3.4. Имеется два продукта питания А и В, каждый из которых содержит белки, жиры и углеводы. В таблице указаны количественный состав этих продуктов в некоторых единицах, их цена максимальная норма потребления этих продуктов, а также минимальная потребность в питательных веществах. Требуется рассчитать количество обоих продуктов так, чтобы удовлетворить потребности организма в указанных веществах при минимальных денежных затратах.

Состав	Минимальная потребность	Продукт
А	В
Белки Жиры Углеводы
Цена продукта		4 руб.	6 руб.
Максимальная норма потребления продукта (не более указанного)	25 ед.	30 ед.

3.5. На деревообрабатывающем предприятии изготавливают тумбочки и книжные шкафы. Для этого требуется три вида сырья: древесина, фанера и стекло. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли от реализации продукции, приведены в таблице. Составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимум прибыли.

Виды сырья	Нормы расхода сырья на изготовление единицы продукции:	Запасы сырья
тумбочка	Книжный шкаф
Древесина, м^3 Фанера, м^2 Стекло, м^2	0,3 0,2 –	0,4 0,1 0,1
Прибыль	5 руб.	10 руб.

3.6. Цех выпускает трансформаторы двух видов. На один трансформатор первого вида расходуется 5 кг железа и 4 кг проволоки, а на трансформатор второго вида – 3 кг железа и 1,6 кг проволоки. Для изготовления этих трансформаторов имеется 350 кг железа и 240 кг проволоки. По плану в цехе должно быть изготовлено не менее 20 штук трансформаторов первого вида и не менее 30 штук трансформаторов второго вида. Сколько штук трансформаторов каждого вида должен производить цех, чтобы получить наибольшую прибыль, если от реализации трансформаторов первого вида цех получает чистого дохода 5 рублей, а от трансформаторов второго вида – 2 рубля?

3.7. В пунктах А и В расположены кирпичные заводы, в пунктах Д и С – карьеры, снабжающие их песком. Потребность заводов в песке не больше производительности карьеров. Известно, сколько песка нужно каждому из заводов и сколько его добывают в каждом карьере. Известна также стоимость перевозки 1 тонны песка из каждого карьера к заводам (все эти данные указаны на рисунке). Как спланировать снабжение заводов песком, чтобы затраты были наименьшими?

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z в области D.

4.1. z = х ² + 2 у ² – 4 у, D = { х ³ 0, у ³ х ², х + у £ 2}.

4.2. z = х ² + 2 у ² – 1, D = { х ³ 1, у ³ –1, х + у £ 1}.

4.3. z = х ² + у ² – 9 ху +27, D = {0£ х £ 3, 0£ у £ 3}.

4.4. z = 10 + 2 ху – х ², D = {0 £ у £ 4 – х ²}.

4.5. z = х ² + ху + 2, D = {4 х ² – 4 £ у £ 0}.

4.6. z = х + ху – у, D = { х ² – у £ 6, 2 х + у – 9 £ 0}.

4.7. z =3 – 2 х ² – у ² – ху, D = { х £ 1, у ³ 0, у £ х }.

5. Решить методом наименьших квадратов.

5.1 Рост валового общественного продукта некоторого государства по транспорту и связи (в ценах этого государства) представлен в таблице. Найти эмпирическую функцию роста общественного продукта по годам.

Годы
Общ.продукт

5.2 Темпы роста общего объема продукции некоторой отрасли промышленности за период с 1991 по 1996 годы (в % к 1990 г.) представлены в таблице. Найти эмпирическую функцию роста объема продукции по годам.

Годы
Объем продукции

5.3. Подобрать эмпирическую функцию роста численности населения в некотором городе, пользуясь данными таблицы

Годы
Число жителей (тыс. чел.)

5.4. Показатели пассажирооборота морского транспорта представлены таблицей. Найти эмпирическую зависимость пассажирооборота по годам.

Годы
Пассажирооборот	31,8	45,1	53,5	62,1	71,5	78,2

5.5. Рост парка ЭВМ (в млрд.дол) в некотором государстве представлен таблицей. Найти эмпирическую функцию роста парка ЭВМ по годам.

Годы
Парк ЭВМ	10,1	15,1	19,7	25,3	31,5	37,6	42,7

5.6. Изучается растворимость S азотно-натриевой соли в зависимости от температуры t. Результаты измерений представлены таблицей. Найти эмпирическую зависимость растворимости от температуры.

t ^o
S	66,7		76,3	80,6	85,7	92,9	99,4

5.7. Производство химического волокна за период с 1990 по 1996 годы представлен таблицей. Найти эмпирическую зависимость производства волокна по годам.

Годы
Производство волокна (тыс.тонн)	3,8	3,7	4,2	5,4	6,5	7,9	9,1

Вопросы к защите темы

«Функции нескольких переменных»

1. Понятие функции нескольких переменных, ее область определения. Привести примеры функции 2-х, 3-х, п переменных. Что представляет собой область определения функции двух переменных?

2. Каково геометрическое изображение функции 2-х переменных?

3. Дайте определение линии, поверхности уровня, приведите примеры.

4. Предел ФНП, непрерывность ФНП.

5. Определение частного приращения ФНП, частных производных 1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков. Запишите определение частных производных первого порядка для функции .

6. Физический смысл частных производных 1-го порядка.

7. Понятие дифференцируемости ФНП, полного дифференциала, связь между этими понятиями. Частные дифференциалы, формула полного дифференциала 1-го,2-го порядков. Запишите формулу нахождения функции .

8. Производная по направлению, градиент, их свойства и связь (с доказательством), физический смысл. Заполните пропуски в следующей фразе «Производная функции U = f (x,y,z)по направлению вектора ` s характеризует...... функции в....... Это производная вычисляется по формуле , где ».

9. Установите соответствие между символами 1- 4 и тем, что характеризуют (а – г) математические объекты, обозначенные этими символами:
1. dz, 2. grad z, 3. , 4. ;
а) скорость изменения функции z = f (x, y)в направлении оси ОУ; б) приращение функции при малых приращениях аргументов; в) скорость изменения функции в направлении вектора; г) направление наискорейшего возрастания функции.

10. Линеаризация функции одной и нескольких переменных, ее геометрическая интерпретация, формула линеаризации. Касательная плоскость.

11. Неявная функция 1-й, 2-х, 3-х и т.д. переменных. Дифференцирование неявных функций (запишите формулы нахождения частных производных). Привести примеры для функций 1-й, 2-х, 3-х переменных.

12. Определение точек максимума и минимума ФНП, экстремумов ФНП.

13. Необходимое условие существования экстремума (с доказательством), критические точки, их связь с точками экстремума.

14. Достаточное условие существования экстремума ФНП, частный случай функции 2-х переменных.

15. Сформулируйте алгоритм нахождения экстремума функции z = f (x,y).

16. Условный экстремум, его геометрический смысл, способы его нахождения.

17. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой ограниченной области, условия их существования для ФНП, графический и аналитический методы их нахождения.

18. Метод наименьших квадратов, его суть Какая задача решается методом наименьших квадратов? Опишите принцип решения этой задачи.

19. Если по характеру расположения точек (х_к, у_к)на координатной плоскости выбран вид аналитической зависимости у = ах + b (или у = ах ²+ bх + с, или у = а^х + b). Изложите метод нахождения параметров а, b (с) этой зависимости.

Задачи

1. Для функции z = x ² + y ² –6 x +4 y + 25 запишите уравнение линии уровня, проходящей через точку Р(1, –4). Постройте ее.

2. Постройте линию уровня функции z = x – 4 y + y ², в каждой точке которой функция принимает значение 5.

3. Температура стержня ОХ является функцией абсциссы х этой точки и времени t:
Q = f (x, t). Каков физический смысл частных производных и ?

4. Записать площадь S прямоугольника как функцию его основания b и высоты h. Найти и , указать их смысл.

5. Температура Т точки остывающего стержня является функцией двух переменных: расстояния x точки от начала стержня и момента времени t: . Вычислите и укажите физический смысл в точке Р(1,2).

6. Найдите смешанные производные второго порядка функции .

7. Функции и (х, у, z) = и 3 х ⁴ – 4 у ³ z + 4 z ² xy – 4 z ³ x + 1 =0 в окрестности точки (1, 1, 1) заменить приближенно равными им линейными функциями.

8. Укажите, в каком направлении следует двигаться от точки , чтобы функция возрастала быстрее всего. Постройте этот вектор.

9. В каком направлении должна двигаться точка М(х, у, z) при переходе через точку М₀(2, 0, 1), чтобы функция убывала с наибольшей скоростью?

10. Найти производную функции и = х ² –3 хуz + 5 в точке М(1, 2, –1) в направлении, составляющем равные углы со всеми осями координат.

11. Скорость распределения материи в пространстве переменных r, s, t задается формулой . В каком направлении плотность в точке М(–1, 3, 2) меняется быстрее всего? Чему равна наибольшая скорость изменения плотности?

12. Как изменилась диагональ прямоугольника, если одна его сторона а = 20см уменьшилась на 2% своей длины, а вторая сторона b = 30см увеличилась на 3%. (не пользуясь МК)

13. Заполните пропуски в таблице, если , r = :

Условия на	Наличие и вид Экстремума
D	r
…	…	точка экстремума
…	любой знак	нет экстремума
D > 0	…	точка минимума

14. Найдите экстремум функции при условии .

15. Найти экстремум функции при условии .

16. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции . Являются ли эти условия достаточными? Если нет, сформулируйте и проверьте выполнение достаточных условий существования экстремума функции в точке

17. Графически найдите наибольшее значение функции в области, заданной системой неравенств .

18. Графически найдите наибольшее и наименьшее значения функции F = x ² – y в области G, изображенной на рис.1.

19. Исследовать на экстремум функцию z = xy при условии х ² + у ² = 2 а ².

20. Найти экстремум функцию .

21. Пусть в качестве эмпирической зависимости выбрана формула . Изложите метод нахождения ее неизвестных параметров.

Дата добавления: 2015-07-24