Построение графиков функций

Возрастание и убывание функции. Задачи на экстремум

Функция f(x) называется возрастающей {убывающей) на интервале (a,b), если для любых точек x_l и x₂ из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству x_l и < х₂, выполняется неравенство:

f (x₁) < f (x₂) для возрастающей функции и
f (x_l) > f (x₂)для убывающей функции.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b)и f'(x)> 0 (f' (x)<0) для x Î(a,b), то функция возрастает (убывает) на интервале (a,b).

Функция f(x) имеет максимум (минимум) в точке x), если существует такая окрестность точки х ₀, что для всех точек из этой окрестности, отличных от х ₀, выполняется неравенство

f (x)< f (x ₀)(f (x)> f (x ₀)).

Точки максимума и точки минимума функции называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума

Если функция f(x) в точке x ₀ имеет экстремум, то производная f' (x ₀)равна нулю или не существует.

Точка, в которой производная равна нулю или не существует, называется критической.

Достаточное условие экстремума первого порядка

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки x ₀(кроме, быть может, самой точки x ₀).

Если при переходе слева направо через точку x ₀производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x ₀функция имеет максимум.

Если при переходе через точку x ₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в точке x ₀ минимум.

Если при переходе через критическую точку первая производная функции не меняет знак, то экстремума в этой точке нет.

Достаточное условие экстремума второго порядка

Если f' (x ₀)= 0 и f² (x ₀)¹0, то функция f (x)имеет в точке х ₀экстремум, а именно, максимум, если f² (x ₀)<0, и минимум, если f² (x ₀) > 0.

Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке [ a,b ]нужно из значений функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих интервалу (a,b), выбрать наибольшее (наименьшее).

Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x) = x⁴ – 8x²+ 7 на отрезке [–1; 3].

Решение. Из условия

f'(x) = 4 x³ –16 x = 4 x × (х² – 4) = 0

находим критические точки: x₁ = –2, x₂ = 0, x₃ = 2. Точка x₁ = –2 не принадлежит отрезку [–1; 3].

Вычислим значения функции f(x) в критических точках внутри данного отрезка и на его границах.

f (–1) = 0, f (0) = 7, f (2) = –9, f (3) = 16.

Наибольшее значение функции равно 16 и достигается в граничной точке x =3, наименьшее значение равно –9 и достигается в критической точке: x = 2 (точка минимума).

Пример 6. Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти треугольник с наибольшим периметром (рис. 1).

B

Рис. 1.

Решение. Пусть треугольник ABC вписан в окружность радиуса R, АВ = ВС, Ð ВАС = a, Ð BOK = Ð ВАС = a как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Из D ВОК имеем: KB=Rsin a, поэтому AB=2KB=2Rsin a.

Из D ABP находим:

АР = АВ cos a = 2R sin a cos a = R sin 2a. Тогда АС = 2АР = 2Rsin a.

Периметр треугольника АВС равен

P (a) = 2R (sin 2a + 2 sin a)

и является функцией угла a, .

Вычислим производную от P (a):

P¢ (a) = 4R(cos 2a + cos a) = 4R(2cos² a – 1 + cos a) =
= 4R(2 cos a – 1) (cos a + 1).

Из условия P¢ (a) = 0 находим единственную критическую точку , принадлежащую интервалу .

При производная P¢ (a) положительна, а при производная P¢ (a) отрицательна, следовательно, при функция P (a) достигает максимума.

–наибольшее значение P (a)на интервале , значит, и , поэтому D ABC – равносторонний.

Построение графиков функций

График функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (a,b), если он расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции

Если f"(x) < 0 в интервале (a,b), то график функции является выпуклым в этом интервале.

Если же f"(x) > 0, то в интервале (a,b), график функции вогнутый.

Точка х ₀, отделяющая выпуклую часть графика непрерывной функции от вогнутой, называется точкой перегиба графика; в точке перегиба f"(х ₀ ) = 0.

Дата добавления: 2015-07-20