Упражнения для самостоятельной работы

Найти экстремум следующих функций:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

18. 19. 20.

Найти наименьшие и наибольшие значения следующих функций:

21. на сегменте 22. на 23. на 24. на

25. на

26. Можно ли утверждать, что если функция в точке имеет максимум, то в некоторой окрестности этой точки слева от точки функция возрастает, а справа от неё убывает? Рассмотреть пример: если и .

27. Доказать, что функция имеет в точке минимум, а функция не имеет в точке экстремума, хотя , , .

28. Доказать неравенства: а) при

б) , если и

в) при и

г) ,

д) .

29. Доказать, что если в точке минимума существует правая производная, то она неотрицательна, а если существует левая производная, то она не положительна.

30. Пустьфункция определена на интервале и непрерывна в точке . Доказать, что если возрастает на интервале и убывает на интервале , то является точкой максимума; если же убывает на интервале и возрастает на интервале , то - точка минимума.

31. Доказать, что функция

в точке имеет нестрогий минимум.

32. Доказать, что функция

имеет строгий минимум в точке , но ни в каком интервале , не является убывающей и ни в каком интервале , не является возрастающей.

33. Абсолютным отклонением двух функций и на сегменте называется число . Определить абсолютное отклонение функций и на сегменте .

34. Функцию на сегменте приближенно заменить линейной функцией так, чтобы абсолютное отклонение функций и (см. предыдущую задачу) было наименьшим, и определить это наименьшее абсолютное отклонение.

35. Доказать, что если функция неотрицательна, то функция имеет в точности те же точки экстремума, что и функция .

36. Доказать, что если функция - монотонно возрастающая в строгом смысле при то функции и имеют одни и те же точки экстремума.

37. Определить наибольшее значение произведения той и той степеней двух положительных чисел, сумма которых постоянна и равна .

38. Найти наименьшее значение суммы той и той степеней двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно .

39. В каких системах логарифма существуют числа, равные своему логарифму?

40. Из всех прямоугольников данной площади определить тот, периметр которого наименьший.

41. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.

42. В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью.

43. В треугольник с основанием и высотой вписать прямоугольник с наибольшим периметром. Исследовать возможность решения этой задачи.

44. В полушар радиуса вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объёма.

45. В шар радиуса вписать цилиндр наибольшего объёма.

46. В шар радиуса вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

47. Около данного шара описать конус наименьшего объёма.

48. Найти наибольший объём конуса с данной образующей .

49. Найти кратчайшее расстояние точки от параболы .

50. Найти кратчайшее и наибольшее расстояния точки от окружности .

51. Найти наибольшую хорду эллипса , проходящую через вершину .

52. Через точку эллипса провести касательную, образующую с осями координат треугольник, площадь которого наименьшая.

53. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса , чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.

54. «Извилистостью» замкнутого контура, ограничивающего площадь , называется отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же площади .

Какова форма равнобедренной трапеции , обладающей наименьшей извилистостью, если основание и острый угол ?

55. Завод отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город , считая по кратчайшему расстоянию, на км. Под каким углом к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из в была наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны груза на расстояние 1 км составляет по подъездному пути руб., по железной дороге руб. и город расположен на км севернее завода ?

56. Два корабля плывут с постоянными скоростями и по прямым линиям, составляющим угол между собой. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент расстояния их от точки пересечения путей были соответственно равны и .

57. К реке шириной метров построен под прямым углом канал шириной метров. Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал?

58. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоянной, равной руб., и переменной, возрастающей пропорционально кубу скорости. При какой скорости плавание

судна будет наиболее экономичным?

§ 7. Направление выпуклости. Точки перегиба

Определение. Функция , определённая и непрерывная в промежутке (замкнутом или нет, конечном или бесконечном), называется выпуклой вниз (или вогнутой вверх), если для любых точек из и любых чисел , таких, что , выполняется неравенство:

.

Если при тех же условиях относительно выполняется неравенство: ,

то функция называется выпуклой вверх (или вогнутой вниз).

Если неравенства или являются строгими при и , то функция называется строго выпуклой вниз или соответственно строго выпуклой вверх на промежутке .

Например, функция строго выпукла вниз на всей числовой оси, что легко проверить непосредственно по определению. Действительно, для , будем иметь:

Геометрический смысл выпуклости вниз функции на заключается в том, что точки любой дуги её графика расположены не выше хорды (ниже – для строгой выпуклости), стягивающей эту дугу. Если функция выпукла вниз (вверх) на некотором промежутке, то её график тоже называют выпуклым вниз (вверх).

Теорема о необходимых и достаточных условиях выпуклости.

Для того чтобы дважды дифференцируемая на функция была выпуклой вниз (вверх) на , необходимо и достаточно, чтобы , .

Условие , является достаточным условием строгой выпуклости вниз (вверх) функции на .

Отметим, что условие не является необходимым. Так, функция строго выпукла вниз на всей числовой прямой, однако равна нулю в точке .

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Если при переходе через точку функция меняет направление выпуклости, то точка называется точкой перегиба функции , а точка называется точкой перегиба графика функции .

Теорема о необходимых условиях точки перегиба.

Если точка является точкой перегиба функции , то либо , либо не существует.

Данные условия не являются достаточными. Например, для функции в точке имеем: , а для функции вторая производная не существует в точке , но ни для , ни для точка не является точкой перегиба.

Теорема о достаточных условиях точки перегиба.

Пусть функция дифференцируема в точке и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой этой точки. Если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка является точкой перегиба функции .

Теорема (об условиях существования точки перегиба с использованием производных высших порядков).

Пусть функция имеет в точке производные до порядка включительно, причём

. Тогда если , то является точкой перегиба функции , если же , то в точке перегиба нет.

Отметим, что если - точка перегиба графика функции , то график функции переходит с одной стороны касательной к нему в этой точке на другую её сторону. Обратное утверждение неверно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию:

Её производная равна:

.

Следовательно, график функции имеет в точке касательную, её уравнение - , при этом график функции переходит с одной стороны касательной к нему в точке на другую её сторону, так как при и (график лежит ниже касательной), а при (график проходит выше касательной). Вторая же производная в точке не существует, так как не существует , а при : .

При этом бесчисленное множество раз меняет знак в любой окрестности точки как слева, так и справа от неё (в точках, где - , а в точках, где - , ).

Таким образом, не является точкой перегиба для данной функции.

Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба следующих функций: 1) ; 2) ;

3) .

1) , .

В точках и вторая производная равна нулю. На интервалах - функция выпукла вниз, а на интервалах и функция выпукла вверх. При переходе через точки и функция меняет направление выпуклости, т.е. указанные точки являются точками перегиба.

2) , .

В точке . На интервале и функция выпукла вверх, а на интервале функция выпукла вниз, так как . Единственная точка перегиба - .

3) , .

не существует в точках . В указанных точках функция имеет бесконечную производную. На интервалах - функция выпукла вниз, на интервалах и функция выпукла вверх, точки и являются точками перегиба данной функции.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба следующих функций: 1) 2)

3) 4) 5)

6) 7) 8)

9) 10) 11)

12) 13) 14) .

2. Исследовать направление выпуклости циклоиды:

, .

3. Пусть функция дважды дифференцируема в промежутке , причём: 1) 2) 3) при . Доказать, что уравнение имеет один и только один вещественный корень в интервале .

4. Исследовать на точки перегиба многочлены:

1)

2)

5. Может ли: 1) точка перегиба функции быть её точкой экстремума; 2) всюду выпуклая вниз (вверх) функция иметь более одного экстремума?

6. Доказать, что у любой дважды дифференцируемой функции:

1) между двумя точками экстремума лежит хотя бы одна тока перегиба; 2) между точками перегиба функции может и не быть точек экстремума.

7. Доказать неравенства: 1) 2) ,

3) , если .

Дата добавления: 2015-07-20