Рунге-Кутта

Решаем задачу Коши основным методом Рунге-Кутта с точностью . Исходя из неравенства h⁴<0,001, выбираем шаг h=0,1. Тогда n=20.

Все вычисления сведены в таблице 1.

Таблица 1. Таблица для метода Рунге-Кутта

k
			-0,50000000	-0,48325000	-0,48375250	-0,46397485	-0,48299664	0,95170034
	0,1	0,9517003	-0,46402020	-0,44134960	-0,44202971	-0,41649842	-0,44121287	0,90757905
	0,2	0,9075790	-0,41654743	-0,38830101	-0,38914840	-0,35819853	-0,38827413	0,86875164
	0,3	0,8687516	-0,35825098	-0,32475345	-0,32575838	-0,28970548	-0,32483002	0,83626863
	0,4	0,8362686	-0,28976118	-0,25131834	-0,25247163	-0,21161288	-0,25149234	0,81111940
	0,5	0,8111194	-0,21167164	-0,16857149	-0,16986450	-0,12447977	-0,16883723	0,79423568
	0,6	0,7942357	-0,12454141	-0,07705516	-0,07847975	-0,02883262	-0,07740731	0,78649495
	0,7	0,7864949	-0,02889697	0,02271994	0,02117143	0,07483275	0,02228642	0,78872359
	0,8	0,7887236	0,07476585	0,13027287	0,12860766	0,18604939	0,12976272	0,80169986
	0,9	0,8016999	0,18598008	0,24515068	0,24337556	0,30437755	0,24456835	0,82615670
		0,8261567	0,30430598	0,36692680	0,36504818	0,42940309	0,36627651	0,86278435
	1,1	0,8627843	0,42932939	0,49519951	0,49322341	0,56073599	0,49448520	0,91223287
	1,2	0,9122329	0,56066028	0,62959047	0,62752257	0,69800893	0,62881588	0,97511445
	1,3	0,9751145	0,69793133	0,76974339	0,76758903	0,84087599	0,76891202	1,05200566
	1,4	1,0520057	0,84079661	0,91532271	0,91308692	0,98901139	0,91443788	1,14344944
	1,5	1,1434494	0,98893033	1,06601242	1,06369996	1,14210834	1,06507724	1,24995717
	1,6	1,2499572	1,14202570	1,22151493	1,21913025	1,29987788	1,22053232	1,37201040
	1,7	1,3720104	1,29979376	1,38154995	1,37909726	1,46204792	1,38052268	1,51006267
k
	1,8	1,5100627	1,46196240	1,54585353	1,54333679	1,62836219	1,54478420	1,66454109
	1,9	1,6645411	1,62827535	1,71417709	1,71160003	1,79857934	1,71306815	1,83584790
		1,8358479	1,79849126	1,88628652	1,88365266	1,97247210	1,88514029	2,02436193

Результаты вычислений занесены в таблицу 2; интегральная кривая на отрезке , соответствующая начальным условиям, изображена на рисунке 2 (см. приложение 1).

Результаты решения дифференциального уравнения

Результаты вычислений при решении ДУ различными методами занесены в таблицу 2.

Таблица 2. Итоговая таблица результатов решения ДУ

	x 0
yточн ( x k)		0,907	0,836	0,794	0,788	0,826	0,912	1,052	1,249	1,510	1,835
yграф ( x k)		0,800	0,700	0,600	0,600	0,600	0,800	1,000	1,300	1,600	1,800
ε1		0,107	0,136	0,194	0,188	0,226	0,112	0,052	0,050	0,089	0,035
y Э ( x k)		0,900	0,817	0,761	0,740	0,761	0,830	0,952	1,132	1,374	1,683
ε2		0,007	0,018	0,032	0,047	0,064	0,082	0,099	0,117	0,135	0,152
y ПП ( x k)		0,907	0,835	0,789	0,772	0,787	0,832	0,905	1,002	1,116	1,241
ε3		0,000	0,001	0,005	0,015	0,038	0,079	0,146	0,247	0,393	0,594
y Р-К ( x k)		0,907	0,836	0,794	0,788	0,826	0,912	1,052	1,249	1,510	1,835
ε4		0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000

Вывод

В лабораторной работе рассматривались простейшие методы изучения решений ДУ первого порядка. Для рассматриваемого ДУ можно заключить, что:

1) наилучшее приближение точного решения на дает основной метод Рунге-Кутта. На рисунке 2 графики функций и практически совпадают;

2) рассмотренные приближённые методы носят локальный характер: чем меньше интервал изменения x, тем «ближе» приближённые решения к точному;

3) каждый из рассмотренных приближённых методов может дать более точный результат, если учесть большее число изоклин в приближённо-графическом методе, увеличить число последовательных приближений в методе последовательных приближений, уменьшить длину шага дискретности в методе Эйлера или Рунге-Кутта. Это, конечно, приведёт к трудоёмкости счёта;

4) для вычислений вручную самым удобным оказался метод последовательных приближений. Однако, данный метод привел на конце отрезке интегрирования к самой большой абсолютной погрешности. Метод Эйлера показал «средние» результаты как по скорости получения результата, так и по погрешности. Основной метод Рунге-Кутта по погрешности показал лучшие результаты, но данный метод имеет существенный недостаток: на каждом шаге приходится вычислять четыре значения функции. Данный недостаток частично устраняется при использовании методов прогноза и коррекции (методы Милна, Адамса, Хемминга и т.д.), для обеспечения сходимости которых при четвертом порядке точности достаточно двух значений функции.

Дата добавления: 2015-07-20