Доказательство. 1) Обозначим исходы, благоприятные для события А, через а1,а2, ,аm

1) Обозначим исходы, благоприятные для события А, через а₁,а₂,…,а_m, а для события В – через b₁,b₂,…,b_n. Вероятности этих исходов обозначим соответственно через p₁,p₂,…,p_m и q₁,q₂,…,q_n. Тогда событию A+B благоприятны все исходы a₁,a₂,…,a_m, b₁,b₂,…,b_n. В силу того что события А и В несовместны, среди этих исходов нет повторяющихся. Поэтому вероятность события А+B равна сумме вероятностей этих исходов, т.е. P(A+B)=p₁+p₂+…+p_m+q₁+q₂+…+q_n. Но p₁+p₂+p_m=P(A), q₁+q₂+q_n=P(B), а потому

P(A+B)=P(A)+P(B).Теорема доказана.

◄ Задача. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3, а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?

Решение. Событие А «выбить не менее 9 очков» является объединением событий В - «выбить 10 очков» и С – «выбить 9 очков». При этом события В и С несовместны, так как нельзя одним выстрелом выбить сразу и 9, и 10 очков. Поэтому по теореме имеем:

P(A)=P(B)+P(C)=0,3+0,6=0.9. ►

Следствие. Данная теорема справедливо для любого конечного числа событий, если события попарно несовместны, т.е. Р (А₁ + А₂ + …+ А_n) =Р(A₁) + Р(A₂) +... + Р(A_n) или

Р (∑_n A_i) = ∑_n Р (A_i));

◄ Задача. В цехе работает несколько станков. Вероятность того, что за смену потребует наладки ровно один станок, равна 0,2. Вероятность того, что за смену потребуют наладки ровно два станка, равна 0,13. Вероятность того, что за смену потребуют наладки больше двух станков, равна 0,07. Какова вероятность того, что за смену придётся проводить наладку станков?

Решение. В том примере опыт состоит в том, что прошла смена и отмечено, сколько станков за эту смену потребовало наладки. В этом опыте события: А – «за смену потребовал наладки ровно один станок», В – «за смену потребовали наладки ровно два станка» и С – «за сену потребовали наладки более двух станков» несовместны. Нас же интересует вероятность события A + B + C. По теореме:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0,2+0,13+0,07=0,4. ►

◄ Задача: Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: р(А₁) = 0,2; р(А₂) = 0,4. Найти вероятность того, что к складу будет подана хотя бы одна из этих машин.

Решение: σ – выделение машин для отправки груза со склада.

Пусть А₁ – выделение первой машины;

А₂ – выделение второй машины.

Таким образом, нужно найти вероятность события А₁ + А₂ – к складу будет подана хотя бы одна машина. Так как необходимо найти вероятность суммы событий, определяем совместность событий А₁ и А₂. События несовместны (может быть выделена со склада только одна машина из двух), то

р(А₁ + А₂) = р(А₁) + р(А₂) = ( учитывая условия задачи ) = 0.2 + 0.4 = 0.6. ►

◄Задача: Известна вероятность поступления в магазин одного товара р(А) = 0.4, а второго р(В) = 0.5, которые поступают независимо друг от друга. Найти вероятность поступления в магазин хотя бы одного из товаров.

Решение:

σ – поступление в магазин товаров.

Пусть А – поступление первого товара;

В – поступление второго товара.

Таким образом, нужно найти вероятность события А + В – поступление хотя бы одного товара. Так как необходимо найти вероятность суммы событий, определяем совместность событий А и В. События совместны (в магазин могут поступить и сразу два товара), то

р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ).

Так как необходимо также найти вероятность произведения событий, определяем зависимость событий А и В. Поскольку события независимы (товары поступают независимо друг от друга), то

р(А * В) = р(А) * р(В).

Отсюда, р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ) = р(А) + р(В) – р(А) * р(В) = учитывая данные задачи = 0.4 + 0.5 - 0.4*0.5 = 0.7►

◄ Задача. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго - 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Решение. σ – стрельба по мишени.

Введем обозначения: событие А - попадание первого стрелка, событие В - попадание второго стрелка, событие А + В - попадание хотя бы одного из стрелков. События А и В совместны. Следовательно, согласно теореме суммы

р(А + В)=р(А) +р(В) -р(АВ).

Так как события А и В независимы, то

р(А + В)=р(А) +р(В) -р(АВ) = р (А) + р (В) - р (А) р (В).

Наконец, учитывая, что р (A) =0,8, р (В) = 0,6, получаем

р (А + В) = 0,8 + 0,6 - 0,8 • 0,6 = 0,92. ►

◄ Задача. Монета брошена три раза. Найдите вероятность того, что герб выпадет ровно два раза.

Решение. σ – бросание монеты.

Введем обозначения: А_i - выпадение герба при i-м бросании монеты (i == 1, 2, 3), - выпадение 2 гербов при 3 бросанияx монеты.

Так как слагаемые правой части этого равенства попарно несовместны, то по правилу сложения вероятностей имеем:

.

Наконец, учитывая независимость событий , по правилу умножения вероятностей получаем:

►

◄ Задача. 3 стрелка попадают в мишень соответственно с с вероятностями 0.9, 0.8, 0.7. Какова вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень (событие D)?

Решение. σ – стрельба по мишени.

Пусть события А, В, С - соответственно попадание в мишень 1, 2 и 3-го стрелка. Тогда D =А+ В + С - при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень.

Однако лучше представить D как событие, противоположное ( ни одного попадания): D = . По формуле (10) тогда имеем:

= 1 - 0,1 • 0,2 • 0,3 = 0,994. ►

2.4.

Алгоритм решения задач на нахождение вероятностей сложных событий:

1 шаг: Выяснить, в чем состоит рассматриваемое в задаче испытание.

2 шаг: Обозначить буквами события, рассматриваемые в условии задачи.

3 шаг: С помощью введенных обозначений выразить событие, вероятность наступления которого необходимо найти.

4 шаг: Если необходимо найти вероятность суммы событий, нужно выяснить совместны или несовместны рассматриваемые события. Если же требуется найти вероятность произведения событий, выяснить, зависимы или независимы рассматриваемые события.

5 шаг: выбрать соответствующую условия задачи формулу и выполнить необходимые расчеты.

3.

Основываясь на ранее рассмотренных фактах, выделяют следующие формулы.

3.1.

Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, которые образуют полную группу событий.Эти события (по отношению к А) называются гипотезами.

В магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется найти вероятность того, что это изделие некачественное.

А – выбранное изделие некачественное;

В₁ – с первого предприятия;

В₂ – со второго;

В₃ – с третьего.

Найти вероятность наступления события А.

Событие А наступает вместе лишь с одним из событий В₁, В₂, …, В_n, следовательно:

А = АВ₁ + АВ₂ + … + АВ_n

Таким образом, нужно найти вероятность полученного события:

р(А) = р(АВ₁ + АВ₂ + … + АВ_n)

Так как необходимо найти вероятность суммы событий, определяем совместность данных событий. События несовместны (из условия), следовательно:

р(А) = р(АВ₁ + АВ₂ + … + АВ_n) = р(АВ₁) + р(АВ₂) + … + р(АВ_n)

Так как необходимо найти вероятность произведения событий, определяем зависимость данных событий. События зависимы (из условия), тогда

р(А) = р(АВ₁ + АВ₂ + … + АВ_n) = р(АВ₁) + р(АВ₂) + … + р(АВ_n) = р(А/В₁)*р(В₁) + р(А/В₂)*р(В₂) + … + р(А/В_n)*р(В_n) или

p(∑_n AВ_i) = ∑_n p (A/В_i)*р(В_i));

Полученная формула носит название формула полной вероятности читается так: вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятности самих гипотез.

◄Задача: В магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. От первого предприятия поступило 20 изделий, от второго – 10 и от третьего – 70. Вероятности выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различны и соответственно равны 0.02, 0.03 и 0.05. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется найти вероятность того, что это изделие некачественное.

Решение:

σ - в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве.

Пусть событие А – выбранное изделие некачественное. Таким образом нужно найти р(А).

Пусть гипотезы В₁, В₂, В₃ означают соответственно, что наудачу выбранное изделие от первого, второго и третьего предприятий. Объединение гипотез дает полную группу событий.

Из условия задачи видно, что условные вероятности наступления события А при условии, что произошло событие Вi (в условии даны) равны р(А/В₁) = 0.02; р(А/В₂) = 0.03 и р(А/В₃) = 0.05.

Далее находим вероятности каждой из гипотез р(В₁), р(В₂), р(В₃), используется алгоритм нахождения вероятности одного события.

Для р(В₁): σ – поступление товара в магазин с первого предприятия. Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

n = 100.

В₁ – изделие с первого предприятия,

m = 20.

Отсюда р(В₁) = 20/100 =0. 2.

Для р(В₂): σ – поступление товара в магазин со второго предприятия. Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

n = 100.

В₂ – изделие со второго предприятия,

m = 10.

Отсюда р(В₂) = 10/100 =0. 1.

Для р(В₃): σ – поступление товара в магазин с первого предприятия. Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

n = 100.

В₃ – изделие с третьего предприятия,

m = 70.

Отсюда р(В₃) = 70/100 =0. 7.

По формуле полной вероятности р(А) = р(А/В₁)*р(В₁) + р(А/В₂)*р(В₂) + р(А/В₃)*р(В₃)= 0.2*0.02 + 0.1*0.03 + 0.7*0.05 = 0.042►

◄ Задача. Пусть имеем три урны с шарами. В первой урне 7 белых и 3 черных шара. Во второй урне 7 белых и 7 черных шаров. В третьей урне 3 белых и 7 черных шаров. Наугад выбрали одну урну. Из этой урны наугад вынули шар.

Какова вероятность, что вынули белый шар?

Решение: σ – урневая схема.

Пусть событие А – вынули белый шар, событие Ei – вынули шар из i -той урны, i=1,2,3. Вероятности P (Ei) полагаем равными, т.е. Р (Ei)=1/3. Вероятность Р (A/E₁)=7/10, вероятность Р(А/E₂)=7/14=1/2, вероятность Р (А/E₃)=3/10. Таким образом, по формуле полной вероятности имеем

Р (А)= Р (A/E₁)· Р (E₁)+ Р (A/E₂)· Р (E₂)+ Р (A/E₃)· Р (E₃)=(1/3)·(7/10+5/10+3/10)

=(1/3)·15/10=1/2 ►

◄ Задача. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Решение. σ – урневая схема.

Введем обозначения: А - шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы Н₁ - из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, H₂ - переложены 2 разноцветных шара, Н₃ - переложены 2 черных шара. Тогда

р (А) = р (Н₁)р (A/H₁) + р (Н₂)р (A/H₂) + р(H₃)р(A/H3).

Вероятности гипотез H_i и условные вероятности р (А/H_i) (i=l, 2, 3) вычисляем по классической схеме:

Р(H₁) = C₂² / C₈² = 1/28, Р(H₂) = C₂¹*C₆¹ / C₈² = 12/28, Р(H₃) = C₆²/C₈² = 15/28

Р(A/H₁) = 3/4, Р(A/H₂) = 5/8, Р(A/H₃) = ½.

Полученные результаты подставим в формулу:

Р(A) = 1/28*3/4 + 12/28*5/8 + 15/28*1/2 = 9/16 ►

3.2.

Рассмотрим ту же задачу, т.е. предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, которые образуют полную группу событий. Проводится испытание, в результате которого произошло событие А.

В магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется найти вероятность того, что это некачественное изделие, поступило с первого предприятия.

А – выбранное изделие некачественное;

В₁ – с первого предприятия;

В₂ – со второго;

В₃ – с третьего.

Найти вероятность того, что в этом испытании произошло событие Вi.

Таким образом нужно найти вероятность события Вi при условии, что событие А наступило, т.е. р(Вi /А) - условную вероятность. Данную вероятность можно найти из теоремы умножения вероятностей.

р(А * Вi) = р(Вi) * р(А / Вi) = р(А) * р(Вi /А).

Таким образом, р(Вi /А) = р(Вi) * р(А / Вi)/ р(А), где р(А) – полная вероятность, тогда

р(Вi /А) = р(Вi) * р(А / Вi)/ ∑_n p (AВ_i)*р(В_i) – полученная формула называется формулой Баейса.

◄Задача: В магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. От первого предприятия поступило 20 изделий, от второго – 10 и от третьего – 70. Вероятности выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различны и соответственно равны 0.02, 0.03 и 0.05. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется найти вероятность того, что это некачественное изделие поступило с первого предприятия.

Решение:

σ - в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве.

Пусть событие А – выбранное изделие некачественное.

Пусть гипотезы В₁, В₂, В₃ означают соответственно, что наудачу выбранное изделие от первого, второго и третьего предприятий. Объединение гипотез дает полную группу событий. Таким образом нужно найти р(В₁/А).

Из условия задачи видно, что условные вероятности наступления события А при условии, что произошло событие Вi (в условии даны) равны р(А/В₁) = 0.02; р(А/В₂) = 0.03 и р(А/В₃) = 0.05.

Далее находим вероятности каждой из гипотез р(В₁), р(В₂), р(В₃), используется алгоритм нахождения вероятности одного события.

Для р(В₁): σ – поступление товара в магазин с первого предприятия. Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

n = 100.

В₁ – изделие с первого предприятия,

m = 20.

Отсюда р(В₁) = 20/100 =0. 2.

Для р(В₂): σ – поступление товара в магазин со второго предприятия. Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

n = 100.

В₂ – изделие со второго предприятия,

m = 10.

Отсюда р(В₂) = 10/100 =0. 1.

Для р(В₃): σ – поступление товара в магазин с первого предприятия. Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

n = 100.

В₃ – изделие с третьего предприятия,

m = 70.

Отсюда р(В₃) = 70/100 =0. 7.

По формуле полной вероятности р(А) = р(А/В₁)*р(В₁) + р(А/В₂)*р(В₂) + р(А/В₃)*р(В₃)= 0.2*0.02 + 0.1*0.03 + 0.7*0.05 = 0.042.

Так как требуется найти р(В₁/А), используем формулу Байеса

р(В1 /А) = р(В1) * р(А / В1)/ p (A) = 0.02*0.2/0.042 ≈ 0.95 ►

◄ Задача. Пусть имеем те же урны с теми же наборами шаров, как и в задаче (5.1). Снова из выбранной наугад урны выбрали наугад шар. Оказалось, что вынули черный шар.

Какова вероятность, что его вынули из третьей урны?

Решение: Пусть В – событие, состоящее в том, что вынули черный шар. События Ei те же, что и в решении задачи. Интересующая нас вероятность есть условная вероятность Р (E_3\/B). По формуле Бейеса (4.5) имеем

Р (Е₃/B)= P (B/E₃)· P (E₃)/(Р (В/E₁)· Р (E₁)+ Р (В/E₂)· Р (E₂)+ Р (В/E₃)· Р (E₃))

У нас: Р (Ei)=1/3, i=1,2,3, Р (В/E₁ ) =3/10, Р (В/E₂)=1/2, Р (В/E₃)=7/10. Таким образом, получаем

Р (Е₃/B)=(7/10)·(1/3)/((1/3)·(7/10+5/10+3/10))=(7/10)/(15/10)=7/15 ►

3.3.

Алгоритм вычисления вероятности на основе основных формул теории вероятностей:

1 шаг: Выяснить в чем состоит испытание в рассматриваемой задаче.

2 шаг: Обозначить событие, вероятность которого надо найти (А).

3 шаг: Составить множество попарно несовместных гипотез В₁, В₂, …, В_n. Проверить, что объединение гипотез составляет полную группу событий.

4 шаг: Вычислить вероятности каждой из гипотез и условные вероятности наступления события А при условии, что произошло событие Вi (если не даны в условии).

5 шаг: По формуле полной вероятности вычислить вероятность события А.

6 шаг: Если из условия задачи известно, что событие А уже произошло, то по формуле Байеса необходимо вычислить вероятности гипотез при условии, что событие А произошло.

4

1. Сборник задач по теории вероятностей: Учебное пособие / Под ред. А. С. Солодовникова. - М.: Просвещение, 1985.

2. Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник – практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики: Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1979.

3. Общий курс математики для экономистов: Учебник / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА – М, 2004.

4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004.

5. Солодовников А.С. Теория вероятностей: Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1978.

Дата добавления: 2015-07-26