Формула Байеса

,

Формула используется для пересчета априорных вероятностей гипотез H₁, H₂,..., H_n при условии, что событие А уже произошло.

Пример. Имеется три урны с различным составом шаров в каждой. В первой - 5 белых и 5 черных, во второй - 3 белых и 3 черных, в третьей - 2 белых и 4 черных. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Определить вероятность того, что он был вынут из третьей урны.

Решение:

Введем обозначения для рассматриваемых событий.

Пусть А - извлечен белый шар. - выбрана первая урна.

- выбрана вторая урна. - выбрана третья урна.

- вероятность извлечения белого шара из первой урны.

- вероятность извлечения белого шара из второй урны.

- вероятность извлечения белого шара из третьей урны.

Определим вероятности, соответствующие этим событиям. Так как все урны одинаковы, то

.

, , .

Тогда, используя формулу полной вероятности, получим:

.

Пересчитаем вероятность третьей гипотезы с условием, что произошло рассматриваемое событие, используя формулу Байеса.

= .

ЗАДАЧИ

90. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар. После чего из нее наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что извлеченным окажется белый, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

91. В ящик, содержащий три одинаковые (не различимые на ощупь) детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равно вероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

92. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная, во втором - 10 ламп, из них тоже одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

93. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложили в урну с 4 белыми и 4 черными шарами 2 шара. После чего из второй урны вынули один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар оказался белым.

94. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором - 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика - стандартна.

95. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1 и две коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 - 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

96. На строительство объекта поступают железобетонные плиты из 4 цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак (несоответствие ГОСТ), равный в процентном отношении соответственно 1, 5, 2 и 3. Какова вероятность того, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТ?

97. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго - 30%, с третьего - 20%, с четвертого - 10% всех деталей. Среди деталей первого станка 0,1% бракованных, второго - 0,2%; третьего - 0,25%, четвертого - 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

98. В специализированную больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; болезни L - 0,8; болезни М - 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

99. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

100. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90 %, второй – 85 %, третьей – 75 %. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

101. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95. Для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

102. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

103. Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05. Для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица.

104. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,4, а трое с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее, принадлежал ли он к двум первым или трем последним стрелкам.

105. Экономист считает, что вероятность роста стоимости акции компании в следующем году составит 0.75, если экономика страны будет на подъеме, и 0.30, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъема равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.

106. На предприятии установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал появляется с вероятностью 0,95. Однако сигнал может возникнуть и без аварийной ситуации с вероятностью 0,001. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,005. Чему равна вероятность аварийной ситуации, если сигнализация сработала?

107. При хороших метеоусловиях вероятность благополучной посадки самолета равна 0,9999, при плохих – 0,9991. Для данного аэропорта в 80 % случаев погода считается летной. Найти вероятность благополучного приземления самолета.

108. Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении – с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что фирма получит прибыль.

109. В магазине имеются телевизоры с импортными и отечественными трубками в соотношении 2:9. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока телевизора с импортной трубкой равна 0,005; с отечественной – 0,01. Найти вероятность того, что купленный в магазине телевизор выдержит гарантийный срок.

110. Вероятность изготовления изделия с браком на данном предприятии равна 0,04. Перед выпуском изделие подвергается упрощенной проверке, которая в случае бездефектного изделия пропускает его с вероятностью 0,96, а в случае изделия с дефектом – с вероятностью 0,05. Определить: а) какая часть изготовленных изделий выходит с предприятия? б) какова вероятность того, что изделие, выдержавшее упрощенную проверку, бракованное?

111. Имеются три урны с одинаковым составом шаров: 4 белых и 6 черных. Из первой урны наудачу берут шар и перекладывают во вторую. Затем из второй урны наудачу берут шар и перекладывают в третью. Затем из третьей урны наудачу извлекают шар. Найти вероятность того, что он белый.

Дата добавления: 2015-07-26