Неинерциальные системы отсчета

Опыт показывает, что причинами ускорения материальной точки могут быть как действие на данную точку каких-то определенных тел, так и свойства системы отсчета, в которой изучается движение точки (действительно, относительно различных систем отсчета ускорение в общем случае будет различным). Если в выбранной системе отсчета причиной ускорения точки является только действие других тел, такая система является инерциальной. Если же причиной ускорения являются не только воздействие других тел, но и свойство самой системы отсчета, то такая система является неинерциальной. Неинерциальные системы отсчета движутся с ускорением относительно инерциальных систем.

Возникает вопрос, а можно ли пользоваться вторым законом Ньютона в неинерциальных системах? Для ответа на этот вопрос рассмотрим два типа неинерциальных систем.

1. Пусть неинерциальная -система движется поступательно по отношению к инерциальной -системе с ускорением . Зададим положение изучаемой материальной точки (рис. 1) в системах и радиус-векторами и соответственно, а положение начала отсчета системы относительно начала отсчета системы , радиус-вектором тогда

.

Продифференцировав это выражение дважды по времени, найдем связь между ускорениями и точки в системах и соответственно

Умножим обе части этого уравнения на массу материальной точки и перепишем в виде

(1)

где – результирующая сила взаимодействия точки с другими телами. Эта сила не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой, т.е. она инвариантна относительно такого перехода.

Совсем иной характер имеет составляющая Эта составляющая возникает не из-за взаимодействия тел, а из-за ускоренного движения системы отсчета. Она называется поступательной силой инерции. При переходе к другой ускоренной системе отсчета меняется и сила инерции. Она не инвариантна относительно такого перехода. Кроме того, сила инерции не подчиняется закону равенства действия и противодействия. Если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к другому телу. Таким образом, второй закон Ньютона (1) для рассмотренной неинерциальной системы отсчета запишется в виде

(2)

где – поступательная сила инерции, направленная в сторону противоположную ускорению . Отсюда следует вывод – при записи второго закона Ньютона в поступательно движущейся неинерциальной системе отсчета кроме сил взаимодействия следует учитывать поступательную силу инерции.

2. Пусть неинерциальная -система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в инерциальной -системе. Возьмем начала отсчета - и -систем в произвольной точке на оси вращения (рис. 2а). Тогда радиус-вектор точки в обеих системах отсчета будет один и тот же: . Если точка неподвижна в -системе, то это значит, что ее перемещение в -системе за время обусловлено только поворотом радиус-вектора на угол (вместе с -системой) и равно векторному произведению (см. раздел “Кинематика твердого тела”).

Если же точка движется относительно -системы со скоростью , то за время она совершает дополнительное перемещение (рис. 2а) и тогда

(3)

Разделив это выражение на , получим следующую формулу преобразования скорости:

, (4)

где и – скорости точки в - и -системах отсчета соответственно.

Теперь перейдем к ускорениям. В соответствии с (4) приращение вектора за время в - системе должно складываться из суммы приращений векторов и , т.е.

. (5)

Найдем . Если точка движется в -системе с , то приращение этого вектора в -системе обусловлено только его поворотом на угол (вместе с -системой) и равно, как и в случае с , векторному произведению . В этом нетрудно убедиться, совместив начало вектора с осью вращения (рис. 2б). Если же точка имеет ускорение в -системе, то за время вектор получает еще дополнительное приращение и тогда

. (6)

Подставим (6) и (3) в равенство (5) и полученное выражение разделим на . В результате найдем следующую формулу преобразования ускорения:

,

где и – ускорения точки в - и -системах отсчета. Умножим обе части этого уравнения на массу материальной точки и перепишем в виде

(7)

где – результирующая сила взаимодействия точки с другими телами,

(8)

– сила Кориолиса,

(9)

– центробежная сила ( – радиус-вектор, направленный от оси вращения к точке ). Сила Кориолиса и центробежная сила – это силы инерции и обладают теми же свойствами, что и поступательная сила инерции. Из формулы (8) следует, что сила Кориолиса действует только на тела, которые движутся в неинерциальных системах отсчета. Центробежная же сила инерции, как следует из формулы (9), действует и на покоящиеся и на движущие тела, и направлена в сторону, противоположную центростремительному ускорению.

Таким образом, в неинерциальных системах отсчета можно пользоваться вторым законом Ньютона, но необходимо кроме сил взаимодействия учитывать и силы инерции.

Вопросы для самоконтроля

1. Неинерциальными называются системы отсчета (СО), в которых причиной ускорения материальной точки:

а) являются только силы взаимодействия;

б) является только свойство самой системы отсчета;

в) являются и силы взаимодействия и свойства самой системы;

г) или называются СО, в которых выполняется первый закон Ньютона.

2. Силы инерции действуют в СО:

а) покоящихся относительно инерциальных;

б) движущихся с постоянной скоростью относительно инерциальных;

в) движущихся с ускорением относительно инерциальных СО;

г) вращающихся с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси.

Укажите правильные утверждения.

3. Поступательная сила инерции равна:

а)

б)

в)

г)

где – ускорение неинерциальной СО по отношению к инерциальной, – ускорение тела в неинерциальной СО.

4. Материальная точка покоится в СО, вращающейся с угловой скоростью вокруг неподвижной оси. Сила Кориолиса, действующая на точку:

а) зависит от расстояния между материальной точкой и осью вращения;

б) зависит от угловой скорости

в) равна нулю;

г) зависит от условий задачи.

5. Центробежная сила инерции:

а) зависит от расстояния между материальной точкой и осью вращения;

б) направлена к оси вращения;

в) направлена от оси вращения;

г) зависит от угловой скорости вращения неинерциальной СО по отношению к инерциальной.

Укажите правильные утверждения.

Дата добавления: 2015-07-26