Математическая постановка задачи оптимизации

Рассмотренные выше задачи принято называть задачами статической оптимизации.

Основными понятиями статической оптимизации являются понятия целевой функции, управляющих переменных, допустимого множества и параметров задачи. Рассмотрим эти понятия

Целевая функция – это функция, представляющая математическое изложение цели задачи. ЦФ обычно определяется в виде функции многих переменных

, (3)

где – переменные задачи.

Два типа переменных – управляющие переменные и параметры задачи.

Управляющие переменные –

Параметры задачи –

В примере управляющими переменными являются , а параметрами задачи являются цены ресурсов и продукта, то есть величины .

Целевой функцией является прибыль .

.

Если вектор управляющих переменных х удовлетворяет ограничениям задачи, он называется допустимым, а множество всех допустимых векторов образует допустимое множество решений X. Допустимое множество является подмножеством

Задача минимизации состоит в поиске такого вектора управляющих переменных из допустимого множества , при котором целевая функция принимает минимальное значение:

или

Многоэкстремальные функции -

Определение. Точка называется точкой локального минимума функции на множестве , если и соответствующая -окрестность точки такие, что

f (х*) f (х) при всех (4)

Определение. Точка х*ÎX называется точкой строгого локального минимума функции на множестве , если и соответствующая -окрестность точки такие, что

f (х*) < f (х) при всех . (5)

Глобальный минимум функции на множестве

f (х*) ≤ f (х) при всех х Î X,

Строгий глобальный минимум функции на множестве

f (х*) < f (х) при всех х Î X,

Решение задачи выбора сводится к поиску конечного числа переменных на множестве , при которых ЦФ достигает минимального (экстремального) значения. Такие задачи называются конечномерными экстремальными или оптимизационными задачами.

Несколько терминологических замечаний.

Замечание 1. Экстремум – это обобщающее понятие для максимума и минимума, которое означает максимум в задачах максимизации и минимум в задачах минимизации.

Точка экстремума – это точка, в которой целевая функция достигает экстремума. Различают точки глобального экстремума и локального экстремума. Точка глобального экстремума всегда является также и точкой локального экстремума. Обратное неверно.

Экстремальное значение – это значение целевой функции в экстремальной точке.

Замечание 2. Вектор управляющих переменных часто называют вектором решений или вектором управлений.

Виды экстремумов

1) максимум или минимум;

2) локальный или глобальный;

3) условный или безусловный;

4) строгий или нестрогий;

5) внутренний или граничный (краевой);

23 \ Исследование операций \Лабораторная работа 1

Дата добавления: 2015-07-16