Вынужденные колебания в RLC контуре

Рассмотрим электрические процессы, протекающие в колебательном контуре (рисунок 15), состоящем из последовательно соединенных катушки индуктивности L, конденсатора С, резистора R и источника ЭДС e, которая изменяется во времени по гармоническому закону

(45)

где ε_m- амплитуда ЭДС, ω - угловая частота, t - время.

•

Рисунок 15 Колебательный контур с источником гармонической ЭДС

Установившиеся колебания в электрической цепи под действием гармонического напряжения от генератора вида (45) называются вынужденными колебаниями. Эти колебания всегда происходят на частоте генератора.

Если внешнее гармоническое напряжение включено в RLC контур, то амплитуда вынужденных колебаний в контуре (например, амплитуда напряжения на конденсаторе) сильно зависит от соотношения между частотой генератора и собственной частотой колебательного контура. При w = w₀ наступает резонанс - отношение амплитуды вынужденных колебаний к амплитуде внешнего генератора становится максимальным. Графическая зависимость этого отношения от частоты внешнего генератора называется резонансной кривой.

При увеличении активного сопротивления контура, т.е. при увеличении энергетических потерь, резонансная кривая становится менее "острой".

Между напряжением генератора и напряжением на конденсаторе имеется фазовый сдвиг, зависящий от соотношения между w и w₀. При резонансе фазовый сдвиг становится равным 90°.

Соотношение между амплитудами напряжений и токов и их фазами при вынужденных колебаниях удобно анализировать с помощью векторных диаграмм. Так принято называть графическое изображение гармонических колебаний с помощью векторов. Два (или несколько) гармонических колебания, частота которых известна и равна частоте генератора w, изображаются на диаграмме с помощью векторов, длины которых равны амплитудам колебаний, а угол между векторами равен фазовому сдвигу. Так вектор, изображающий напряжение на катушке индуктивности, должен быть повернут на угол 90° против часовой стрелки по отношению к вектору, изображающему ток в катушке. Говорят, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на угол 90°. Для конденсатора, наоборот, ток опережает напряжение на угол 90°. В замкнутой цепи векторная сумма всех напряжений на последовательно включенных элементах должна совпадать с вектором, изображающим напряжение внешнего генератора.

В последовательном RLC контуре при резонансе амплитуды напряжений U_С и U_L на конденсаторе и катушке индуктивности одинаковы, а фазовый сдвиг между ними равен 180°. Поэтому вектор входного напряжения совпадает на диаграмме с вектором напряжения на активном сопротивлении.

Будем полагать, что процессы в цепи удовлетворяют условию квазистационарности.В этом случае длямгновенных значений токов и напряжений справедливы все законы, установленные дляцепей постоянного тока.

По закону Ома для цепей можно записать

(46)

где (в величину сопротивления резистора входят внутреннее сопротивление источника ЭДС и сопротивление катушки L), U_с=q/c - напряжение на конденсаторе;

- ЭДС индукции в катушке; i,q,ε - мгновенные значения тока, заряда и ЭДС.

Принимая указанное на рисунке направление за направление по отношению, к которому определяются I, U, ε, получим

(47)

где U - мгновенное значение напряженияна конденсаторе, Подставляя выражения (45) и (47) в (46) найдем

(48)

Поделив левую и правую части уравнения (48) на LС и обозначив (R/L)=2α и (1/LС.)= (ω₀ - собственная частота контура) его можно представить в виде:

(48a)

Дифференциальное уравнение (48) описывает закон изменения напряжения на конденсаторе с течением времени. Его решение равно сумме решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного уравнения (48). Решение однородного уравнения

(49)

имеет вид

(50)

и представляет собой затухающие колебания в колебательном контуре.

3атухание колебаний определяется сомножителем е^-αt, где - коэффициент затухания (при амплитуда затухающих колебаний уменьшаетсяв раз). и φ₀ - определяются начальными условиями.

При t>> - составляющая U₁ представляющая собой переходный процесс в контуре, исчезнет и установившиеся колебания в контуре, которые не зависят от начальных условий, определяются частным решением уравнения (48).

Частное решение уравнения (48) имеет вид

(51)

Подставив (51) в уравнение (48а) можно показать, что

(52)

(53)

Таким образом, амплитуда и фаза напряжения на конденсаторе зависит от соотношения частоты источника ЭДС (ω) и собственной частоты контура ω₀. Графики этих зависимостей показаны на рисунках 16 и 17. Из графика (рисунок 16) видно, что при приближении частоты ω к собственной частоте контура ω₀ амплитуда напряжения U_m резко увеличивается. Это явление называют резонансом, а кривые U_m(ω) - резонансными кривыми. Величина и положение максимума U_m зависит от α: при α =: 0 резонанс происходит при ω = ω₀ (кривая I); при увеличении α, максимальное значение U_m уменьшается и понижается ω также частота соответствующая этому максимуму (кривые 2 и 3). При малом затухании резонансная частота ω≃ω₀ и из формулы (52) получим

(54)

т.е. амплитуда напряжения на конденсаторе при резонансе в Q раз больше амплитуды ЭДС источника. Величина Q называется добротностью колебательного контура.

На рисунке 17 показаны фазовые резонансные кривые при различных (2) Q.

Чем больше добротность контура, тем резче меняется фаза в окрестности резонансной частоты.

На практике, однако, удобнее пользоваться "приведённой" резонансной кривой, ордината любой точки которой представляет собой отношение квадрата текущего значения амплитуды напряжения на конденсаторе к квадрату резонансного его значения. Используя формулу (54), выражение (52) можно представить в виде

, где (55)

Рисунок 16 Амплитудные резонансные кривые при различных добротностях контура

Рисунок 17 Фазовые резонансные кривые при различных добротностях контура

Отсюда видно, что при η = I все приведенные резонансные кривые пройдут через точку (1,1) на плоскости (, η). Ход резонансной кривой контура (частотная характеристика), а, следовательно, и его спектральные свойства тесно связаны с его параметрами. Используя кривую резонанса в квадратичной форме (55), ее обычно ограничивают верхней частью, полученной при пересечении с горизонтальной прямой на половине высоты (рисунок 18). Точки А и В соответствующие половине энергии по сравнению с энергией колебаний в контуре при резонансе. Если добротность контура достаточно велика (Q>>1), то в области частот близких к резонансу, резонансную кривую можно считать симметричной.

Рисунок 18 Резонансные кривые на плоскости (, η).

"Ширина" резонансной кривой АВ определяется величиной

(56)

которую называют относительной полосой пропускания контура. Абсолютное значение полосы пропускания равно:

(57)

полоса пропускания контура характеризует его избирательные свойства. Найдем связь этих величин с добротностью.

Положив в формуле (55). = 1/2 получим уравнение:

(58)

Решая это квадратное уравнение относительно η², найдем:

(59)

Пренебрегая вформуле (59) величиной <<1, получим

(60)

0тсюда с учетом малого отличия ω от ω₀ найдем

(61)

Таким образом, абсолютная полоса пропусканияконтура

(62)

или добротность контура

(63)

Учитывая соотношение между логарифмическим декрементом λ и добротностью Q = π/λ получим

Таким образом, резонансная кривая колебательного контура может быть использована для определения его параметров, что и находит применение в измерительной технике.

Дата добавления: 2015-07-15