График зависимости vx от времени .

С точки зрения математической записи определения скорости и ускорения подобны. Поэтому из графика скорости можно получить график изменения координаты аналогично тому, как мы получали из графика ускорения изменение скорости.

Из определения скорости (5) следует, что по заданной зависимости v _x (t), можно найти изменение координаты (проекции перемещения) D x = x - x ₀ за промежуток времени D t = t - t ₀:

. (13)

Аналогично тому, как мы искали изменение проекции скорости Dv _x по графику a_x (t), поиск изменения координаты D x по графику v _x (t) сводится к определению площади под кривой v _x (t).

Например, для графика на рис. 3 за первые 2 секунды движения D x будет равно площади треугольника 0.5×2 с×2 м/с=2 м, а за первые 3 секунды будет равно 3 м.

Если v_х > 0, то площадь берется со знаком плюс (D x > 0), если v_х < 0 - то со знаком минус (D x < 0). Если за время движения проекция скорости принимает как положительные, так и отрицательные значения, то для нахождения изменения координаты за этот промежуток времени нужно провести алгебраическое суммирование соответствующих величин. Например, для графика на рис. 3 перемещение D x за промежуток времени со 2-й по 4-ю секунды будет равно нулю.

Если D x есть интеграл от проекции скорости (см. выражение (13)), то пройденный путь , согласно определению (7), есть интеграл от модуля скорости. Т.е. для определения пройденного пути площади под графиком v _x (t) нужно всегда складывать независимо от знака проекции скорости. Например, для графика на рис. 3 за первые 3 секунды движения пройденный путь будет совпадать с проекцией перемещения D x и будет равен 3 м, а за промежуток времени со 2-й по 4-ю секунды пройденный путь будет равен 2 м.

По графику v _x (t) можно найти среднюю скорость за некий промежуток времени. Из определения средней скорости (3) следует, что , а как показано выше, перемещение D x численно равно площади под графиком v _x (t). Таким образом, например, для рис. 3 за первые 3 секунды движения средняя скорость равняется 3 м / 3 с=1 м/с.

По графику скорости v _x (t) можно определить проекцию ускорения. Из определения ускорения (10) следует, что ускорение есть производная от скорости по времени, то есть . Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке. Следовательно, тангенс угла наклона касательной к графику скорости v _x (t) численно равен ускорению точки в данный момент времени. В частном случае, когда график v _x (t) представляет прямую линию, тангенс угла наклона этой прямой к оси времени численно равен ускорению, т.е. . Например, для графика на рис. 3 в первые две секунды движения ускорение равнялось , а со 2-й по 4-ю секунды

Качественно: в случае движения с положительным ускорением касательная к графику скорости образует с осью времени острый угол, а если ускорение отрицательное – тупой угол (принято отсчет угла проводить от оси абсцисс против часовой стрелки). Величина же ускорения (его модуль) определяется крутизной графика скорости.

Задания для самостоятельной работы по графику v _x (t) на рис. 3:

1) Определите D x с 3-й по 8-ю секунду, с 8-й по 9-ю секунду, с 9-й по 10-ю. За всё время движения точки.

2) Постройте график координаты x (t), если в начальный момент времени t ₀ = 0 x ₀ = 0.

3) Постройте график a_x (t).

4) Постройте график пройденного точкой пути как функцию времени.

5) Найдите среднюю скорость точки за следующие промежутки времени: со 2-й по 4-ю секунду; со 2-й по 9-ю секунду; за всё время движения.

6) Определите, в какой момент времени точка удалится от начала координат на максимальное расстояние?

7) Считая, что при t₀ = 0 x ₀ = 0, определите, в какой момент времени координата точки снова окажется равной нулю.

8) Определите перемещение D x и пройденный точкой путь на участке, на котором она двигалась с максимальным по величине ускорением.

9) Определите перемещение D x и пройденный точкой путь на участке, на котором она двигалась с минимальным по величине ускорением.

Дата добавления: 2015-07-14