Оценка аннуитета.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, длительности всех периодов которого равны между собой. Исторически вначале рассматривались ежегодные денежные поступления, что и послужило основой для названия, т.к. год по латыни – annо. В дальнейшем в качестве периода стал выступать любой промежуток времени при сохранении прежнего названия. Аннуитет ещё называют финансовой рентой или просто рентой. Любое денежное поступление называется членом аннуитета (членом ренты), а величина постоянного временнóго интервала между двумя последовательными денежными поступлениями – периодом аннуитета (периодом ренты). Если число равных временных периодов ограничено, аннуитет называется срочным. Интервал времени от начала первого периода аннуитета до конца последнего называется сроком ренты. Он равен произведению периода ренты на количество денежных поступлений.

Как и в общем случае, выделяют два типа аннуитетов: постнумерандо и пренумерандо. Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счёт в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.

Началом аннуитета является начало его первого периода. Начало аннуитета пренумерандо совпадает с моментом первого денежного поступления. Начало аннуитета постнумерандо предшествует моменту первого денежного поступления на интервал времени, равный периоду аннуитета.

Ситуация, когда денежные поступления по периодам варьируются, является наиболее распространённой. В этом случае аннуитет называется переменным. Общая постановка задачи такова. Пусть - аннуитет, период которого совпадает с базовым периодом начисления процентов по ставке i. Требуется найти стоимость данного аннуитета с позиции будущего и с позиции настоящего.

Оценку с позиции будущего можно представить следующим образом:

С₁ С₂ С₃ …….. С_n-1 С_n

t₀ t₁ t₂ t₃ ….…. t_n-1 t_n

С_n

С_n-1(1+ i)

С₂(1+ i) ^{n -2}

С₁(1+ i) ^{n -1}

Логика решения прямой задачи для аннуитета постнумерандо

На первое денежное поступление С₁ начисляются сложные проценты за (n – 1) период и в конце n – ого периода оно равно С₁(1+ i) ^{n -1}. На второе денежное поступление С₂ начисляются сложные проценты за (n – 2) периода и в конце n – ого периода оно равно С₂(1+ i) ^{n -2} и т.д.. На предпоследнее денежное поступление С_n-1 проценты начисляются за один период и в конце n – ого периода оно равно С₁(1+ i). На С_n проценты не начисляются.

Будущая стоимость аннуитета постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных денежных поступлений:

. (3.1)

Оценку с позиции настоящего можно представить следующим образом:

С₁ С₂ С₃ …….. С_n-1 С_n

t₀ t₁ t₂ t₃ ….…. t_n-1 t_n

С₁/(1+ i)

С₂/ (1+ i) ²

С_n-1/(1+ i) ^{n -1}

С_n/(1+ i) ⁿ

Логика решения обратной задачи для аннуитета постнумерандо

В этом случае реализуется схема дисконтирования, все элементы потока приведены к настоящему моменту времени. Приведённая стоимость аннуитета постнумерандо оценивается как сумма дисконтированных денежных поступлений:

. (3.2)

Задача. Рассчитать приведённую стоимость аннуитета постнумерандо (тыс. руб.): 12,15,9,25, если задана процентная ставка i = 12% и период равен 1 году.

Год	Денежный поток (тыс. руб.)	Множитель дисконтирования при i = 12%	Приведённый поток (тыс. руб.)
		0,8929 0,7972 0,7118 0,6355	10,71 11,96 6,41 15,89 44,97

Логика оценки аннуитета пренумерандо аналогична вышеописанной.

Оценку с позиции будущего можно представить следующим образом:

С₁ С₂ С₃ С₄ …….. С_n

t₀ t₁ t₂ t₃ ….…. t_n-1 t_n

С_n(1+ i)

С₃(1+ i) ^{n -2}

С₂(1+ i) ^{n -1}

С₁(1+ i) ⁿ

Логика решения прямой задачи для аннуитета пренумерандо

Будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть оценена как сумма наращенных денежных поступлений:

. (3.3)

Очевидно, что . (3.4)

Оценку с позиции настоящего можно представить следующим образом:

С₁ С₂ С₃ …….. С _{n -1} С _n

t₀ t₁ t₂ t₃ ….…. t _{n -1} t _n

С₁

С₂/ (1+ i)

С _{n -1}/(1+ i) ^{n -2}

С _n /(1+ i) ^n-1

Логика решения обратной задачи для аннуитета пренумерандо

Приведённая стоимость аннуитета пренумерандо оценивается как сумм дисконтированных денежных поступлений:

. (3.5)

Как и в случае с будущей стоимостью, очевидно, что

. (3.6)

Дата добавления: 2015-07-14