Арифметические действия с непрерывными функциями.

Если функции и непрерывны в точке , то функции также непрерывны в точке .

О п р е д е л е н и е 5. Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывная в каждой точке этого отрезка.

ЗАМЕЧАНИЕ. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Классификация точек разрыва.

О п р е д е л е н и е 1. Точка называется точкой разрыва функции если в этой точке нарушается её непрерывность.

В соответствии с определениями предыдущего пункта, функция будет непрерывной в точке если в этой точке выполняются все равенства

(4)

В зависимости от того, какое из этих равенств не выполняется, получаем различные типы точек разрыва.

1. Устранимый разрыв.

Если . Этот разрыв можно устранить, доопределив функцию, положив . Например, имеет разрыв в точке , которая не входит в область определения. Но если преобразуем это выражение, то получим

,

т.е. график этой функции - это прямая; точке отвечает выколотая точка на графике. Разрыв можно устранить, поло - жив .

2. Разрыв 1-го рода.

Если , но оба эти предела конечны, то говорят, что в точке функция имеет разрыв

1-го рода (или «конечный скачок»). Рассмотрим на примерах:

1)

. Они не совпадают, но оба конечны. Следовательно, в точке функция имеет разрыв 1-го рода. На графике это выглядит таким образом:

y

-1 х

3. Разрыв 2-го рода.

Если хотя бы один из пределов равен бесконечности, то говорят, что в точке функция имеет разрыв 2-го рода. Например, . Точка не входит в область определения (точка возможного разрыва). Найдём в этой точке односторонние пределы:

И ещё оценим поведение функции на бесконечности:

Построим схематический рисунок

У

х

О п р е д е л е н и е 2. Функция называется кусочно – непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках отрезка , за исключением, может быть конечного числа точек разрыва 1-го рода и кроме того имеет односторонние пределы на концах отрезка. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.

Например, рассмотрим функцию

Она задана с помощью трёх функций, каждая из которых непрерывна на своём участке числовой прямой. Разрывы возможны только в точках, где функция меняет своё выражение, т.е. в точках и Найдём односторонние пределы в этих точках

Пределы не совпадают, следовательно, в точке функция имеет разрыв 1-го рода.

Односторонние пределы совпадают. Это означает, что - точка непрерывности функции. Согласно определению, эта функция кусочно-непрерывна на числовой прямой

У

0 1 3 х

Другим примером кусочно-непрерывной на всей числовой прямой функции может служить функция (целая часть х), график которой приведён на рис. 4

Основные свойство непрерывных функций.

Сформулируем их в виде теорем, доказывать которые не будем.

1 ТЕОРЕМА 1 (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция непрерывна в точке , причём . Тогда существует - окрестность этой точки такая, что для всех функция имеет тот же знак, что и .

Посмотрим, как это выглядит на рисунке

Y

x

2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.

ТЕОРЕМА 2 (1-я теорема Больцано – Коши). Пусть функция

непрерывна на отрезке и на концах

отрезка принимает значения разных знаков. Тогда

существует хотя бы одна точка , в которой

y

f(b)

a b x

f(a)

Теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей которой является ось , в другую пересекает эту ось.

ТЕОРЕМА 3 (2-я теорема Больцано – Коши) Пусть функция

непрерывна на отрезке , причём

. Пусть далее, - любое

число между и . Тогда существует точка ,

такая что

Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

СЛЕДСТВИЕ. Если функция определена на некотором промежутке , то множество её значений представляет аналогичный промежуток (т.е. интервал переходит в интервал, отрезок в отрезок и т.п.)

3.. Ограниченность непрерывной функции на отрезке.

Напомним, что функция называется ограниченной на отрезке , если существует число такое, что для всех выполняется неравенство или , т.е. график функции не выходит из полосы, ограниченной прямыми и

ТЕОРЕМА 4. (1-я теорема Вейерштрасса) Если функция

определена и непрерывна на отрезке

, то она ограничена этом отрезке.

В §1 были введены понятия точной верхней грани и точной нижней грани () множества . В соответствии с этим, точной верхней гранью функции называется точная верхняя грань множества её значений и обозначается . Аналогично определяется точная нижняя грань функции - . В том случае, если точные грани функции являются значениями функции, то говорят, что функция достигает своих точных граней.

ТЕОРЕМА 5 (2-я теорема Вейерштрасса). Если функция

непрерывна на отрезке , то она

достигает на этом отрезке своих точных

верхней и нижней граней, т. е. существуют

точки , такие что

.

Замечание 1 Так как непрерывная функция достигает на отрезке своих точных верхней - и нижней -

Граней, то можно назвать точную верхнюю грань - максимальным значением, а точную нижнюю грань - минимальным значением функции . Поэтому теорему 5 можно переформулировать следующим образом: непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное и минимальное значение.

Разность между максимальным и минимальным значением непрерывной функции на отрезке называется колебанием непрерывной функции на этом отрезке и обозначается , где .

---

Дата добавления: 2015-07-11