Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Равномерная непрерывность функций

Читайте также:
  1. А. Вспомогательные элементы для связи функций между собой
  2. Анатомо-морфологическая база высших психических функций
  3. Анатомо-морфологическая база высших психических функций.
  4. В то же время, старение тела - это прогрессирую­щий ожог химическими веществами, который приводит к повреждению желез и нарушению их функций, вплоть до их полой дисфункции.
  5. Вопрос № 8. Культурно-историческая концепция психического развития. Понятие высших психических функций.
  6. Выражено неравномерная самооценка
  7. Вычисление пределов степенно-показательных функций

Понятие непрерывности функции относится к отдельно взятой точке, т.е. является свойством функции в точке. Непрерывность функции f на < a; b > определяется как ее непрерывность в каждой точке этого промежутка.

f (x) непрерывна в т. x 0 .

Можно доказать, что (на примере )

Проблема: возможна ли ситуация, чтобы d не зависело от x 0, где x 0 меняется на < a; b >, т.е. чтобы .

Определение 1. f (x) называется равномерно непрерывной на промежутке < a; b >, если .

Определение 2. f (x) не является равномерно непрерывной на < a; b > если .

Теорема 1. Если f (x) равномерно непрерывна на < a; b >, то она непрерывна на < a; b >.

Доказательство.

Возьмем . По условию для выбранного e .

Пусть x 2= x 0, x 1= x. Тогда выполнено . Значит (по определению) функция непрерывна в точке x 0, а так как она произвольно взята из промежутка < a; b >, то функция непрерывна на всем промежутке.

Замечание. Обратное утверждение не верно.

Пример. D непрерывна на (0;1). Докажем, что она не является равномерно непрерывной на (0;1).

Пусть . Выберем . Найдем , а . Возьмем " х 2Î(0;1), а . Тогда ,

.

По определению 2 функция не является равномерно непрерывной на (0;1). D

Теорема 2. (Кантора) Если f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она равномерно непрерывна на [ a; b ].

Доказательство.

(От противного) Пусть f (x) не является равномерно непрерывной на [ a; b ], тогда по определению 2

.

Возьмем последовательность положительных чисел : .

Для найдутся такие точки Î[ a; b ], такие, что , но .

Для Î[ a; b ]: , но .

Для Î[ a; b ]: , но .

................

Для Î[ a; b ]: , но .

...............

Этот процесс продолжаем бесконечно. В результате из [ a; b ] выделится 2 ограниченные последовательности

:

:

Из последовательности по т. Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Покажем, что и сходится к точке x 0.

.

Так как , то .

Выберем .

Тогда, т.к. , то издвух последгих оценок следует, что для выбранного Û .

По условию f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], следовательно, она непрерывна в точке x 0Î[ a; b ]. Тогда по определению предела функции по Гейне для последовательностей и соответствующие и последовательности значений функции и должны сходиться к f (x 0), тогда при , но это противоречит тому что (а, следовательно, и ).


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 146 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Непрерывность функции | Точки разрыва и их классификация | Свойства непрерывных функций | Непрерывность обратной функции |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Непрерывность элементарных функций| Лекция 6. Непрерывность функции.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)