Теорема: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Минор и алгебраическое дополнение

Минором элемента называется такой новый определитель, который получается из данного определителя,вычёркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением елемента называется минор этого элемента, взятый со знаком . Для определителя третьего порядка эти знаки будут распределяться следующим образом:

Пример 1

Алгебраическим дополнением элемента будет являться определитель второго порядка,взятый со знаком :

(Минором будет являться тот же определитель, но без учёта знака)

Пример 2

Алгебраическим дополнением элемента будет являться определитель второго порядка, взятый со знаком :

–минор; - алгебраическое дополнение.

Теорема: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Пример 3

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют,миноров.Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.Ну и третий элемент первой строки:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель. Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем.

Такой же метод используют при вычислении определителей четвёртого, пятого и т.п. порядков.

Упражнения

Вычислить определители методом разложения по элементам строки (столбца).

а) ; б) .

в) ; г)

Дата добавления: 2015-07-11