Построение нелинейной зависимости. Вычисление индекса корреляции

ПРИМЕР 6. Известна табличная зависимость y от х (табл. 4).

Таблица 4. Табличная зависимость y от x

№	x	y	№	x	y
	10.1			13.8
	10.2
	10.3			14.4
	10.8			14.5
	10.9
				15.6
	11.1			15.8
	11.4
	12.2			18.1
	13.3

Аппроксимировать эту зависимость методом наименьших квадратов с помощью функций , и , и сравнить результаты полученных вычислений.

На рис. 21. изображен график табличной зависимости y от x.

Рис. 21. График экспериментальной зависимости

Для построения квадратичной и кубической аппроксимирующей зависимости в MathCAD можно воспользоваться функциями regress и interp.

Функция regress(x,y,k) возвращает вектор коэффициентов полинома k -й степени, подобранного методом наименьших квадратов по экспериментальным точкам (x – массив абсцисс, y – массив ординат экспериментальных точек). Элементы массива х должны быть упорядочены по возрастанию.

Функция regress возвращает специальным образом сформированный массив, предназначенный для использования в функции interp, первые три элемента которого являются специальными значениями, используемыми функцией interp, а последующие элементы массива - коэффициентами подобранного полинома.

Функция interp(s,x,y,t) вычисляет значения полинома в точке t, x – массив абсцисс, y – массив ординат экспериментальных точек, s – массив коэффициентов полинома, найденный с помощью функции regress.

С помощью функций regress и interp можно подобрать коэффициенты полного полинома любой степени.

Для аппроксимации табличной зависимости y(x) полиномами второй и третьей степени необходимо сформировать массивы коэффициентов полиномов a и b, обратившись к функции regress. Далее можно, используя interp , построить функции A(t) и B(t), с помощью которых можно вычислить значения аппроксимирующих полиномов второй и третьей степени в любой точке t (рис. 22).

Рис. 22. Построение аппроксимирующих зависимостей ,

Подобрать зависимость с помощью функций regress и interp не получится. Поэтому вспомним, что аппроксимирующую зависимость необходимо подбирать таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений от расчетных была наименьшей.

В связи с этим проблема подбора зависимости эквивалентна следующей задаче оптимизации. Найти значения c₀, c₁ и c₂, при которых функция достигает своего минимального значения. Решение этой задачи представлено на рис. 23.

Рис. 23. Построение аппроксимирующей зависимости

Таким образом, построены все три зависимости. Осталось определить, какая из них лучше описывает экспериментальные значения, что можно сделать, сравнив индексы регрессии или величины суммы квадратов отклонений.

На рис. 24 – 26 представлены расчеты индексов регрессии для трех зависимостей.

Рис. 24. Вычисление индекса регрессии для квадратичной зависимости

Рис. 25. Вычисление индекса регрессии для кубической зависимости

Рис. 26. Вычисление индекса регрессии для зависимости

На рис. 27 представлены величины сумм квадратов отклонений для всех трех зависимостей.

Рис. 27. Вычисление сумм квадратов отклонений подобранных зависимостей

Как видно из результатов, приведенных на рис. 21 – 27, зависимость, представленная в табл. 4, лучше всего аппроксимируется полиномом третьей степени.

Кроме рассмотренных выше методов аппроксимации, в MathCAD существует возможность подбора параметров приближающей функции следующего вида:

,

где – любые известные функции, заданные с помощью функции linfit. Обращение к функции linfit имеет вид:

linfit (x,y,F),

где

x – массив абсцисс экспериментальных точек,

y – массив ординат экспериментальных точек,

F– вектор, содержащий функции в символьном виде.

Функция linfit возвращает вектор коэффициентов K.

ПРИМЕР 7. Известна табличная зависимость y от х (табл. 4). Аппроксимировать эту зависимость методом наименьших квадратов с помощью функций .

Решение этой задачи с помощью функции linfit представлено на рис. 28.

Рис. 28. Подбор зависимости с использованием функции linfit

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В., Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad12, MATLAB7, Maple9. – НТ Пресс, 2006.–596с.:ил. –(Самоучитель)

2. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Mathcad 12.–НТ Пресс, 2005.–345с.

3. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В., Е.А. Рудченко, Scilab, решение инженерных и математических задач. –М., БИНОМ, 2008.–260с.

4. Алексеев Е.Р. Универсальный самоучитель начинающего пользователя ПК. –М., НТ Пресс, 2007.–640с.

5. Алексеев Е.Р. (под общей редакцией О.В. Чесноковой) Подробное руководство для начинающих осваивать Интернет. –М., НТ Пресс, 2008.–448с.

6. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений.–М.:Наука, 1966.–632с.

7. Гарнаев А.Ю., Использование MS EXCEL и VBA в экономике и финансах. – СПб.: БХВ - Петербург, 1999.–332с.

8. Демидович Б.П., Марон И А., Шувалова В.З., Численные методы анализа.–М.:Наука, 1967.–368с.

9. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров.–М., 1970, 720с.

10. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Методические указания к выполнению лабораторных работ в MS EXCEL. Для студентов всех специальностей. Донецк, ДонНТУ, 2004. 112 с.

Выбор варианта курсовой работы

Последние цифры в зачетке	Номер варианта
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		–

Вопросы к защите курсовой работы

1. Какая задача поставлена в курсовой работе?

2. Каким методом решается поставленная задача?

3. В чем идея метода наименьших квадратов?

4. Геометрический смысл метода наименьших квадратов?

5. Какие средства выбраны для решения задачи?

6. Какие линии были подобраны в результате решения задачи?

7. Чему равны суммарные ошибки для найденных линий?

8. Какая линия лучше описывает результаты эксперимента? Почему?

9. Что такое коэффициент корреляции и каково его значение?

10. Что такое индекс корреляции и чему он равен?

Дата добавления: 2015-12-08