Движение точки в полярных координатах

Пусть движение точки происходит в заданной плоскости. Помимо декартовых координат , движение может быть задано, например, при помощи полярных координат (рис. 2.12).

Пусть заданы функции , . Найдем скорость и ускорение точки A.
Пусть - единичный вектор, направленный вдоль радиуса-вектора точки A относительно O в сторону возрастания величины , а - вектор, получающийся из поворотом последнего на угол против часовой стрелки. Единичные вектора и задают направления двух взаимно перпендикулярных осей: радиальной и трансверсальной соответственно. В системе координат Oxy векторы и можно записать в следующем виде:
,
.
Так как , , то в системе координат Oxy имеем

Модуль скорости равен

(2.21)

Проекции скорости и на радиальную и трансверсальную оси называются соответственно радиальной и трансверсальной скоростями.

Для ускорения аналогично получаем

Проекции ускорения на радиальную и трансверсальную оси называются радиальным и трансверсальным ускорениями соответственно. Тогда, ускорение точки при движении в полярных координатах

(2.22)

.

Угол, образованный ускорением с положительным радиальным направлением, определяется формулой
.

Пример 3. Движение точки задано в полярных координатах уравнениями , . Определить уравнение траектории, скорость и ускорение точки в полярных координатах для моментов времени , . Решение. Исключая из уравнений движения параметр t, получим следующее уравнение траектории в полярных координатах . Это уравнение спирали Архимеда (рис. 2.13). Определим положение точки при : , . Точка занимает положение, показанное на (рис. 2.13). Проекции скорости и ускорений на полярные оси вычислим по формулам: ; . Для момента времени , точка занимает положение : ; . Для момента времени , точка занимает положение : ; .

3.1 Понятие о степенях свободы

3.2 Основная теорема кинематики

3.3 Поступательное движение твердого тела

3.4 Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

3.4.1 Угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение

3.4.2 Частные случаи вращения твердого тела

3.4.3 Скорости и ускорения точек твердого тела

3.5 Преобразование простейших движений

3.6 Векторы угловой скорости и углового ускорения

Дата добавления: 2015-12-08