Линейные электрические цепи при постоянном и гармоническом воздействиях

2.3.1. Гармонические (синусоидальные) ток и напряжение

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 2.9):

(2.21)

Соответственно для синусоидального напряжения имеет место аналогичная формула:

(2.22)

Максимальное значение функции (I_m или U_m) называют амплитудой. Период Т — это время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота равна числу колебаний в 1 с:

f = 1/T (2.23)

Единица частоты f — герц (Гц) или с^-1. Угловая частота

ω =2π f (2.24)

Единица угловой частоты — рад/с.

Рис. 2.9

Аргумент синуса, т. е. (ωt + φ), называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t.

Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

В России и Западной Европе наибольшее распространение получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, принятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц.

Диапазон частот практически применяемых сннусоидальных токов очень широк: от долей герца, например, в геологоразведке, до миллиардов герц (гигагерц) в радиотехнике.

Синусоидальные токи и э д. с. сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают, как правило, с помощью механических генераторов. Синусоидальные токи и э. д. с. высоких частот получают с помощью специальных полупроводниковых (и ламповых) генераторов. Источник синусоидальной э. д. с. и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах теми же символами, что и источники постоянной э. д. с. и тока, но вводят в их обозначения зависимость от времени: e(t ) и i(t).

Положив для простоты в выражениях (2.21) и (2.22) φ = 0, получим следующее выражение для закона Ома в случае активного сопротивления при гармоническом воздействии:

u = RI_msinωt =U_msinωt (2.25)

или:

i = GU_m sinωt = I_msinωt (2.26)

где R = 1/G, R – активное сопротивление, G – активная проводимость,

U_m и I_m – амплитуды напряжения и тока.

Как видно из соотношений (2.25) и (2.26), ток и напряжение в рассматриваемом элементе находятся в фазе.

Мгновенная мощность электрических колебаний в активном сопротивлении определяется выражением

p = ui = Ri² = Gu²

Положительной является также и величина энергии, рассеиваемой на активном сопротивлении за любой конечный интервал времени t – t₀ > 0:

Для линейной индуктивности связь между приложенным к ней напряжением u и проходящим через неё током i выражается соотношением:

(2.27)

Отсюда следует, что при отсутствии начального тока, протекавшего через индуктивность, величина тока в момент времени t определится соотношением:

В случае гармонического воздействия, т.е. когда i = I_msin(ωt + φ₀) из формулы (2.27) получим:

(2.28)

Из соотношения (2.28) видно, что амплитуда напряжения на индуктивности определяется выражением U_mL = ωLI_m, а роль индуктивного сопротивления X_L играет величина ωL.

Кроме того, гармонические колебания напряжения на зажимах индуктивности опережают по фазе колебания тока на угол π/2

Значения средней мощности в идеальном индуктивном элементе оказывается равным 0, т.к. в режиме гармонических колебаний происходит непрерывный обмен энергией между индуктивностью и внешней по отношению к ней цепью без рассеяния энергии.

Для линейной ёмкости зависимость напряжения на её зажимах от тока в случае гармонического (синусоидального) воздействия определяется следующим соотношением:

(2.29)

Таким образом, связь между амплитудой гармонических колебаний напряжения на зажимах ёмкости и протекающего через неё тока имеет вид:

U_mC = I_m/ωC,

а роль ёмкостного сопротивления R_C играет величина 1 /ωC,

Из формулы (2.29) видно, что на зажимах ёмкости колебания напряжения отстают по фазе от колебаний тока на угол π/2

Остановимся теперь несколько подробнее на вопросе оценки мощности в цепи переменного тока при наличии произвольного сдвига фаз φ между током и напряжением

При прохождении переменного тока по электрической цепи можно оценивать или мощность, развиваемую за каждый малый промежуток времени, или среднюю мощность за полный цикл изменения — период. Для квазистационарных процессов мгновенную мощность можно найти как произведение мгновенных значений силы тока в цепи и разности потенциалов на ее концах:

p = iu = i_mu_msinωtsin(ωt + φ)

В этой формуле для простоты записи отсчет времени выбран таким образом, что для одной из величин (например, тока) начальная фаза равна нулю. Из структуры выражения видно, что если разность фаз φ между напряжением и током отлична от нуля, то в некоторые моменты времени р < 0, т. е. развиваемая мощность отрицательна. В эти моменты электрическая цепь не потребляет энергии, а, наоборот, отдает запасенную энергию обратно источнику э. д. с.

Поэтому для оценки полезной работы, совершаемой переменным током, рассматривают среднюю мощность Р за период. При таком рассмотрении, очевидно, необходимо учесть и все моменты, при которых р < 0, так как соответствующие слагаемые вычтутся из общей суммы. Для синусоидального тока:

(2.30)

или:

(2.31)

Величины и (составляющие ≈ 0,707 от амплитудных величин) называются (по аналогии с постоянным током) действующими или эффективными значениями и их произведение определяет мощность, расходуемую на выделение тепла или выполнение механической работы в цепи. В случае φ = 0, Р = IU, что совпадает с определением мощности при постоянном токе. Понятие действующего значения применяется очень часто.

Большинство измерительных приборов градуируется в действующих значениях. В дальнейшем изложении будут использоваться действующие значения синусоидального тока (или других величин), кроме случаев, оговариваемых особо, или случаев рассмотрения мгновенных значений.

Величина cosφ играет значительную роль в электротехнике, так как определяет эффективность использования электрооборудования. Действительно, для получения той же мощности при cosφ< 1 требуется большее значение либо I, либо U, чем при cosφ= 1. Но электрические установки не могут выдерживать разности потенциалов выше некоторого максимального значения из-за возможного пробоя изоляции и не могут пропускать ток больше расчетного ввиду нагревания проводов. Следовательно, при cosφ< 1 даже при I_макс и U_{мак с} от такой установки нельзя получить максимально возможной мощности.

Поэтому на генераторах переменного тока и других устройствах часто обозначают не действительно используемую полезную мощность (она зависит от качества электрической цепи, т. е. от величины cosφ), а произведение UI, представляющее собой кажущуюся мощность, которая измеряется в вольтамперах:

P_к = UI

Полезная же активная мощность, как было найдено выше, равна

P_a = UIcosφ

При прохождении тока через активное сопротивление φ = 0, а . Тогда

P_а = I²R

При прохождении тока через индуктивность и емкость , следовательно, cosφ= 0, так что и средняя мощность в этих элементах равна нулю. Это объясняется их свойством запасать и затем отдавать энергию без потерь, что привело к названию «реактивные элементы».

Кроме действующего значения, для синусоидально изменяющейся величины иногда используется понятие среднего значения.

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Так, среднее значение тока

(2.32)

т е. среднее значение синусоидального тока составляет 2/π ≈ 0,638. от амплитудного.

Аналогично, ,

Для практических расчётов часто используется графическое изображение синусоидальных функций вращающимися векторами.

Рассмотрим вектор постоянной длины I₁, вращающийся в заданной плоскости вокруг точки О сугловой скоростью ω. Введем в указанной плоскости систему прямоугольных координат хОy (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Пусть φ₁ —угол, образованный ОМ₁ с осью Ох вначальный момент времени. Тогда i₁ — ордината точки М₁ в момент времени t — выражается формулой:

i₁ =I₁sin(ωt + φ₁)

Вектор ОM₁ удобно использовать для графического представления синусоидальных функций времени (синус получитсяпри проектировании на ось Оу, косинус — на ось Ох).

Пусть нам нужно сложить две синусоидальные функции с одинаковым периодом, но с разными начальными фазами:

i₁ =I₁sin(ωt + φ₁) и i₂ =I₂sin(ωt + φ₂)

По известному правилу вектор ОМ, изображающий сумму обеих функций i₁ и i₂ можно получить как геометрическую сумму векторов ОМ₁ и ОМ ₂, изображающих эти функции. Все три вектора вращаются одновременно с угловой скоростью ω. Из рис 2.10, очевидно, что ордината точки М представляет собой сумму функций I₁sin(ωt + φ₁) и I₂sin(ωt + φ₂). Аналогично абсцисса точки М равна сумме функций I₁cos(ωt + φ₁) и I₂cos(ωt + φ₂).

Рисунок 2.10 представляет собой простейшую векторную диаграмму.

Отметим теперь, что для наглядности построения векторных диаграмм удобнее предположить, что сами векторы неподвижны, а оси координат вращаются с угловой скоростью ω,

Векторная диаграмма рис. 2.10, отражающая относительное положение суммируемых векторов и осей координат в момент времени t = 0, позволяет определить амплитуду ОМ = I и фазу φ вектора, представляющего собой сумму исследуемых колебаний, и получить следующие соотношения:

Isin(ωt + φ) = I₁sin(ωt + φ₁) + I₂sin(ωt + φ₂). (2.33, а)

Icos(ωt + φ) = I₁cos(ωt + φ₁) + I₂cos(ωt + φ₂). (2.33, б)

Изображение синусоидальных переменных токов вращающимися векторами весьма удобно в тех случаях, когда приходится складывать несколько токов или изучать фазовые соотношения между ними. Особенно простым получается векторное изображение, когда сдвиги по фазе между рассматриваемыми токами также постоянны (т. е. равны их частоты). Действительно, как видно из соотношений (2.23 а, б), мгновенные значения переменного тока можно складывать алгебраически подобно значениям постоянного тока. В то же время эти мгновенные значения являются проекциями вращающихся векторов. Следовательно, на том основании, что сумма проекций слагаемых равна проекции суммы, можно производить просто геометрическое сложение вращающихся векторов, а значение тока в любой момент времени находить по проекции суммарного вектора.

Естественно, что применение векторного изображения оправдано только для установившихся синусоидальных токов (т.е. таких, амплитуда которых является постоянной величиной), ибо только для них длина вектора не изменяется во времени. Тогда взаимное расположение векторов также будет неизменным, а их сумма — постоянной.

Векторные изображения очень наглядны и дают большую экономию в расчетах, как и методы векторной алгебры по сравнению с аналитическими методами. Следует, однако, заметить, что векторные диаграммы для синусоидальных токов, являясь удобным геометрическим способом изображения, не указывают направления в пространстве (как это имеет место для векторов напряженности поля, магнитной индукции и т. п.). Векторы для переменных токов изображают только амплитуды (своей длиной), а их проекции на оси — лишь мгновенные значения для любого момента времени.

На рис. 2.11, а построены векторные диаграммы для тока и разности потенциалов на различных элементах электрической цепи. Отрезки расположены под углами с учетом фазовых сдвигов. Амплитудные значения и фазовые сдвиги определяются соответственно длиной и взаимным расположением векторов. Поэтому, когда требуется знание только этих величин, векторные диаграммы считают неподвижными и строят их без осей (рис. 2.11, б).

При необходимости определить мгновенные значения, векторы надо вращать с угловой скоростью ω и находить соответствующие проекции на специально построенную ось. Не существенно, выбирается ли длина пропорциональной амплитудным значениям, или действующим, так как отношение этих величин постоянно (√2).

Рис. 2.11. Векторные диаграммы для различных элементов электрической

цепи.

Применение векторных диаграмм может быть распространено на сопротивления и проводимости. В последовательной электрической цепи ток, проходящий через все ее элементы, одинаков. Если разность потенциалов на каждом элементе разделить на ток (используя амплитудные или действующие значения), то в результате получаются значения сопротивлений элементов цепи. Значит, если была построена неподвижная векторная диаграмма для разностей потенциалов,топосле деления всех ее отрезков на силу тока, получается подобная векторная диаграмма для сопротивлений

2.3.2. Символический метод анализа.

В предыдущем параграфе был рассмотрен метод расчёта электрических цепей переменного тока, основанный на изображении синусоидальных величин (токов и напряжений) в виде векторных диаграмм.

Целью данного параграфа является исследование возможности применения с аналогичной целью символического метода, основанного на применении комплексных чисел.

Сущность применения символических изображений заключается в представлении синусоидального (косинусоидального) процесса мнимой или вещественной частью комплексного числа. Математические преобразования, диктуемые условиями задачи, выполняются затем над комплексной величиной, символически изображающей действительный процесс.

Рис. 2.12. Эквивалентность комплексных чисел и векторных

диаграмм

Как следует из сказанного выше, символические изображения можно ввести, перенося векторные диаграммы на плоскость комплексных чисел, т. е. используя известную из математики эквивалентность комплексных величин векторам на плоскости (рис.2.12, а). При этом длина вектора, изображающая амплитуду сигнала, соответствует модулю комплексного числа; мгновенные значения рассматриваемой величины, которые при использовании векторных диаграмм соответствовали проекциям вектора на одну из координатных осей, изображаются вещественной или мнимой частью комплексного числа, сложение векторов на диаграмме заменяется сложением комплексных величин и т. д.

Символический метод во многих случаях позволяет значительно упростить расчет электрических цепей в случае гармонического (синусоидального) воздействия. Математические преобразования, диктуемые условиями задачи, выполняются над комплексной величиной, символически изображающей действительный процесс. Геометрическому сложению и вычитанию векторов, отображающих синусоиды одинаковой частоты, соответствует алгебраическое сложение и вычитание комплексов этих векторов.

Дифференцированию мгновенного значения соответствует умножение на jω его векторного отображения, интегрированию — деление на jω. Поэтому применение символического метода приводит к алгебраизации интегро-дифференциальных уравнений.

Окончательный результат выражается, после преобразований комплексной величины, её вещественной или мнимой частью, в соответствии с первоначальным представлением.

Как известно из курса математического анализа, комплексные величины могут записываться несколькими способами:

(2.34)

Различные способы записи тождественны друг другу и связаны следующими соотношениями:

a = Acosφ; b = Asinφ;

Из этих выражений легко видеть, что синусоидальному току

i = i_msinφt (или разности потенциалов, или другой величине) соответствует мнимая часть (точнее, коэффициент при j) следующей комплексной величины:

(2.35)

Эта комплексная величина является символическим изображением синусоидального переменного тока и называется комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i в момент времени t = 0.

Итак, в данном случае

где обозначает мнимую часть

Точно так же косинусоидальный ток i = i_mcosωt может изображаться действительной частью :

Если одновременно рассматриваются несколько процессов, то перед применением символических изображений все они приводятся к одной функции (либо sin, либо cos). Это приведение несложно, так как сводится к введению начального фазового сдвига .

Как уже отмечалось, на практике чаще пользуются действующими значениями и символом обозначают следующее выражение:

(2.36)

Величина φ (или ωt) в формуле (2.36) в приведенном примере имеет смысл фазы рассматриваемого синусоидального процесса. Изменению φ (или ωt) соответствует поворот вектора на комплексной плоскости, как это и указывалось выше для случая векторной диаграммы.

Итак, при символической записи синусоидальной функции с произвольным начальным сдвигом фаз φ, например и = U_msin(ωt + φ), она отображается вращающимся вектором U_mt в комплексной плоскости под углом к вещественной оси, равным (ωt + φ). Вектор U_mt может быть записан в виде комплексного числа в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:

U_mt = ú + jű = U_m [cos(ωt + φ) + jsin(ωt + φ)] = U_me^j(ωt+φ) =

где , а j =

В практических расчётах часто оперируют с комплексным действующим значением, отображающим неподвижный вектор (в момент времени t = 0):

Комплексное сопротивление. Закон Ома в символической форме.

Как уже отмечалось, сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и э. д. с.

Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося процесса, мгновенное значение тока i заменяют комплексной амплитудой тока İ_m; мгновенное значение напряжения на резисторе сопротивлением R, равное Ri, — комплексом Rİ_m, по фазе совпадающим с током İ_m; мгновенное значение напряжения на индуктивной катушке — комплексом İ_mjωL, опережающим ток на 90°; мгновенное значение напряжения на конденсаторе — комплексом , отстающим от тока на 90°; мгновенное значение э. д. с. е — комплексом Ė_т. Справедливость замены на İ_mjω следует из формулы (2.28), из которой следует, что амплитуда напряжения. на индуктивности L равна произведению амплитуды тока на X_L= ωL. Множитель j свидетельствует о том, что вектор напряжения на катушке индуктивноcnb опережает вектор тока на 90°.

Аналогично, из формулы (2.29) следует, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна амплитуде тока, умноженной на .

Отставание напряжения на конденсаторе от протекающего по ней тока на 90° обозначает наличие множителя – j.

В качестве примера запишем уравнение для мгновенных значений напряжений для схемы рис. 2.13:

u_R + u_L + u_C = e

Рис. 2.13.

или

(2.37)

В комплексной форме данное уравнение примет вид:

Вынеся İ_т за скобку, получим.:

(2.38)

Следовательно, для схемы рис. 2.13

Как уже отмечалось, в символическом методе токи и напряжения заменяют их комплексными изображениями или символами. Так, Rİ_m — это изображение или символ падения напряжения iR резисторе R, jωLİ_m — изображение или символ падения напряжения на катушке индуктивности L, а — изображение или символ падения напряжения на конденсаторе С.

Множитель в уравнении (2.38) представляет собой комплекс, имеющий размерность сопротивления и обозначается через Z. Его называют комплексным сопротивлением:

(2.39)

Как и всякий комплекс, Z можно записать в показательной форме. Модуль комплексного сопротивления принято обозначать через z. Точку над Z не ставят, т.к. её принято ставить только над такими комплексными величинами, которые отображают синусоидальные функции времени.

Уравнение (2.38) можно записать так: İ_mZ = Ė_m. Разделив обе его части на , мы перейдем от комплексных амплитуд İ_т и Ė_т к комплексам действующих значений İ и Ė:

(2.40)

Уравнение (2.40) представляет собой закон Ома в комплексной форме для цепи синусоидального тока.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX, т.е.:

Z = R = jX

где — R активное сопротивление; X — реактивное сопротивление.

Так, например, для схемы рис 2.13 реактивное сопротивление

Законы Кирхгофа в символической форме записи.

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

(2.41)

Подставив вместо i_k в (2.41) İ_ke^jωt и вынеся e^jωt за скобку, получим

Так как e^jωt не равно нулю при любом t, то

(2.41.а)

Уравнение. (2.41а) представляет собой первый закон Кирхгофа в символической форме записи.

Заметим, что первый закон Кирхгофа является следствием более общего закона сохранения заряда

Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений и э. д. с. Пусть замкнутый контур содержит п ветвей и каждая k -ветвь в общем случае включает в себя источник э. д. с, е_k, резистор R_k, индуктивность L_k и емкость С_k. по которым протекает ток i_k. Тогда по второму закону Кирхгофа

(2.42)

Но каждое слагаемое левой части уравнения (2.42) можно заменить на İ_k Z_k а каждое слагаемое правой части — на Ė. При этом уравнение (2.28) примет вид:

(2.42.а)

Уравнение (2.42.а) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи.

Выражение мощности в комплексной форме записи.

Пусть нам задано некоторое комплексное число (комплекс):

A = Ae ^jφ = Acos φ_A +Asin φ_A

Под комплексным числом Ǻ, сопряженным с числом (комплексом) A, будем понимать

Ă = Ae ^{– jφ} = Acos φ_A – Asin φ_A.

Рассмотрим простой прием определения активной и реактивной мощностей через комплекс напряжения и сопряженный комплекс тока. Пусть напряжение на некотором участке цепи , а ток по этому участку – . Угол между напряжением и током φ = φ_u — φ_i.

Умножим комплекс напряжения U на сопряженный комплекс тока и обозначим полученный комплекс через :

(2.43)

Значок ~ (тильда) над S обозначает комплекс (а не сопряженный комплекс) полной мощности, составленный при участии сопряженного комплекса тока.

Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть, а реактивная мощность Q — мнимая часть произведения , т.е.

(2.44)

2.3.3. Методы расчёта сложных линейных электрических цепей.

Сложной электрической цепью называется такая разветвлённая цепь, которую нельзя свести путем эквивалентного преобразования к последовательному и параллельному соединению ветвей.

Непосредственное применение законов Ома и Кирхгофа к анализу сложных электрических цепей приводит к достаточно громоздким вычислениям. Это обстоятельство явились причиной создания альтернативных методов расчета электрических цепей.

В данном параграфе будут рассмотрены четыре основных метода анализа сложных линейных электрических цепей: метод уравнений Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и метод суперпозиции.

При любом методе расчета составляется система алгебраических уравнений, отражающая электрическое равновесие в цепи. Если к электрической цепи подключены генераторы гармонического напряжения (тока), то уравнения составляются для комплексных амплитуд; если генераторы выдают переменное, но не синусоидальное напряжение (так), то несинусоидальные функции предварительно раскладываются в ряд Фурье и расчет ведется для каждой из гармоник, то есть задача сводится к предыдущему случаю.

Метод уравнений Кирхгофа (метод токов ветвей).

Обычно при расчете электрической цепи неизвестный являются токи или напряжения ветвей, поэтому приходится составлять столько уравнений, сколько схема имеет ветвей. Например, для схемы, данной на рис. 2.14, имеющей шесть ветвей, требуется составлять шесть уравнений.

Рис. 2.14

Наиболее просто составляются уравнения по первому закону Кирхгофа. Схема имеет четыре узла, им соответствует четыре уравнения, но независимых из них будет только три.

Первый узел : – I₁₂ – I₁₃ + I₁₄ = 0

Второй узел: + I₁₂ – I₂₃ – I₂₄ = 0

Третий узел: + I₁₃ + I₂₃ – I₃₄ = 0

Обозначим число независимых узловых уравнений через N, оно будет равно числу узлов У без одного:

N = У–1

Если в схеме общее число ветвей равно п, то число контурных уравнений М = п — (У — 1). В нашем примере М = 3, поэтому нужно выбрать три контура из 7 возможных и составить для них уравнения, Обычно выбирают наиболее простые по структуре контуры, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Так же произвольно выбираются направления токов в ветвях.

Выберем три контура (I, II, III) и составим для них уравнения:

I Контур: I₁₂ Z₁ + I₂₄Z₅ + I₁₄ Z₄ = E₁

II Контур I₂₃ Z₂ + I₃₄Z₆ – I₂₄ Z₅ = –E₂

III Контур –I₁₄ Z₄ – I₄₃Z₆ – I₃₁ Z₃ = E₃

Дальше остается решить систему из шести алгебраических уравнений.

Существенным недостатком метода уравнений Кирхгофа является достаточно громоздкая система уравнений. Кроме того, чтобы получить удовлетворительный результат, необходимо проводить вычисления с пятью-шестью знаками после запятой.

Метод контурных токов.

Как показано выше, в методе уравнений Кирхгофа число необходимых уравнений определяется числом ветвей схемы, точнее, числом токов ветвей (откуда и второе название метода).

Однако число необходимых уравнений можно уменьшить, так как не все токи ветвей независимы. Например, зная величины двух каких-либо токов, сходящихся в узле схемы рис. 2.14, можно найти третий, применяя первый закон Кирхгофа.

В принципе, в новой системе уравнений в качестве неизвестных могут быть любые фиктивные величины, так или иначе связанные с реальными токами (напряжениями) ветвей. К таким фиктивным величинам относятся, например, контурные токи.

Формально их теоретическое обоснование находят из решения системы уравнений, составленных для узлов и контуров. Воспользуемся уравнениями, написанными для схемы рис. 2.14. и выразим токи смежных ветвей через токи во внешних ветвях:

I₁₄ = I₁₂ + I₁₃

I₂₄ = I₁₂ – I₂₃

I₃₄ = I₁₂ + I₂₃

Подставив их в контурные уравнения, получим:

I₁₂Z₁ + (I₁₂ – I₂₃)Z₅ + (I₁₂ + I₁₃)Z₄ = E₁

I₂₃Z₂ + (I₁₃ + I₂₃)Z₅ – (I₁₂ –I₂₃)Z₅ = –E₂

(I₁₂ + I₁₃)Z₄ + (I₁₃ + I₂₃)Z₆ + I₃₁Z₆ = E₃

Сгруппируем теперь члены уравнений с I₁₂, I₂₃ и I₁₃:

I₁₂ (Z₁ + Z₅ + Z₄) – I₂₃Z₅ + I₁₃Z₄ = E₁

I₂₃ (Z₂ + Z₆ + Z₅) + I₁₃Z₆ – I₁₂Z₅ = – E₂

I₁₃ (Z₄ + Z₆ + Z₃) + I₁₂Z₄ + I₁₃Z₆ = E₃

Ведём теперь обозначения:

I₁₂ = I₁

I₂₃ = I₂

I₁₃ = I₃

Токи I₁, I₂, I₃ формально приписывается каждый своему контуру и называется контурными токами, которые, как указывалось выше, являются фиктивными (виртуальными) величинами, с помощью которых можно сократить число уравнений.

Обозначим далее сумму сопротивлений, образующих каждый контур, одним символом:

Z₁ + Z₅ + Z₄ = Z₁₁

Z₂ + Z₆ + Z₅ = Z₂₂

Z₄ + Z₆ + Z₃ = Z₃₃

Сопротивления Z₁₁ Z₂₂ Z₃₃ называются собственными сопротивлениями контуров.

Сопротивления, входящие в два смежных контура, называют взаимными сопротивлениями:

Z₁₂ = Z₂₁ = Z₅

Z₂₃ = Z₃₂ = Z₆

Z₁₃ = Z₃₁ = Z₄

Система уравнений, записанная в новых обозначениях, называется системой контурных уравнений:

I₁Z₁₁ – I₂Z₁₂ + I₃Z₁₃ = E₁

– I₁Z₂₁ + I₂ Z₂₂+ I₃Z₂₃ = – E₂ (2.45)

I₁ Z₃₁ + I₂Z₃₂ + I₃Z₃₃ = E₃

Физически данная система уравнений может быть интерпретирована следующим образом. Контурный ток, например I₁, обтекает все сопротивления своего контура (суммарное собственное сопротивление контура — Z₁₁ ) и создает на них соответствующее падение напряжения. Кроме того, на каждом из сопротивлений, принадлежащем одновременно соседнему контуру, создается дополнительное падение напряжения за счет тока соседнего контура. Сумма этих падений напряжения, согласно второму закону Кирхгофа, равна сумме действующих в контуре э.д.с. с соответствующим знаком (в нашем примере – E₁, –E₂ и E₃)

Практически контурные уравнения составляются непосредственно по принципиальной схеме.

В нашем примере (рис. 2.15) это будет система трех уравнений с тремя неизвестными, т.е. число уравнений сократилось в два раза по сравнению с методом уравнений Кирхгофа.

Решать полученную систему можно любыми классическими методами.

Например, используя формулу Крамера, получим:

Здесь ∆ — определитель системы,

∆_ij — миноры.

Заметим, что направление обхода контуров выбирается совпадающим с направлением контурных токов.

Если схема содержит источники тока, то их предварительно заменяют источниками напряжения.

Метод узловых потенциалов

Для иллюстрации применения метода узловых потенциалов рассмотрим схему, приведённую на рис. 2.15. Источниками питания схемы в этом случае удобнее считать генераторы тока, проводимость которых определится выражением . Следует при этом помнить, что для идеального генератора тока внутреннее сопротивление Z_k = 0, и такой переход невозможен. Однако для реальных генераторов Z_k отлично от 0 и выражение для проводимости имеет смысл.

В качестве независимых переменных принимаются потенциалы узлов. Потенциал одного из них берется за нулевой, от него отсчитываются потенциалы всех остальных узлов. Поэтому число независимых уравнений всегда на единицу меньше числа узлов

Рис.2.15

Обозначим потенциалы узлов 1, 2, 3 через U₁, U₂, U₃ и запишем уравнения по первому закону Кирхгофа.

U₁Y₁ + (U₁ – U₂)Y₄ + (U₁ – U₃)Y₃ + I₁ = 0

(U₁ – U₂)Y₄ – U₂Y₅ – (U₂ –U₃)Y₆ = 0

(U₂ –U₃)Y₆ + (U₁ – U₃)Y₃ – U₃Y₃ +I₂ =0

Эту систему уравнений можно переписать в несколько ином виде, сгруппировав члены с U₁, U₂, U₃:

U₁(Y₁ +Y₄ + Y₃) – U₂Y₄ – U₃ Y₃ = – I₁

U₁ Y₄ – U₂(Y₄ + Y₅) + U₃ Y₆ = 0 (2.46)

U₁ Y₃ + U₂Y₆ – U₃(Y₆ + 2Y₃) = – I₂

Решив данную систему уравнений известными алгебраическими методами (например, по формуле Крамера), найдём значения потенциалов U₁, U₂, U_{3 ,} зная которые, определим токи ветвей

Принцип дуальности

Как видно из рассмотренных ранее примеров (формулы 2.45 и 2.46), уравнения и соотношения, характеризующие электрические цепи, можно разбить на две аналогичные по форме группы, которые включают в себя соответственно источники тока и источники напряжения. Такие уравнения и соотношения принято называть подобными.

Уравнения подобных электрических цепей

1-я группа	2-я группа
Уравнения Кирхгофа
Уравнения пассивных элементов
I = Yu	u = Ri
Уравнения источников
j = j(t)	e = e(t)
Yвн = 0	Rвн = 0

Уравнения подобных электрических цепей сходны по форме и отличаются лишь обозначениями переменных и коэффициентов уравнений. Такие цепи называют дуальными. "Сходные" величины в уравнениях дуальных цепей называют дуальными величинами.

Дуальные величины
1-я группа	2-я группа
Ток – i	Напряжение – u
Напряжение – u	Ток – i
Активная проводимость – Y	Активное сопротивление – R
Ёмкость – C	Индуктивность – L
Индуктивность – L	Ёмкость – C
Задающий ток – j	Электродвижущая сила – e

Принцип дуальности состоит в следующем.

Если какие-либо положения, теоремы и зависимости верны для некоторой электрической цепи, то они будут верны и в дуальной электрической цепи. Например, последовательное (параллельное) соединение элементов в исходной электрической цепи переходит в параллельное (последовательное) соединение дуальных элементов в дуальной электрической цепи.

При анализе линейных цепей используется принцип суперпозиции (наложения), который определяется следующим образом.

Напряжения и токи в электрической цепи можно рассматривать как "реакцию" или "отклик" цепи на приложенное к ней воздействие. В линейных электрических цепях реакция пропорциональна воздействию. В соответствии с этим принципом реакция линейной цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности.

Метод суперпозиции.

Фундаментальный закон природы — независимость действия сил в линейных системах — с успехом применяется для анализа электрической цепи с несколькими источниками питания. Закорачивая все источники питания (э.д.с.), кроме одного, и отбрасывая все источники тока, рассчитывают электрическую цепь с одним единственным источником питания. Перебирая по очереди все источники как э.д.с., так и тока, каждый раз рассчитывают электрическую цепь, а затем берут алгебраические суммы результатов расчета для каждой ветви, или выборочным порядком для интересующей ветви.

В качестве примера рассмотрим схему, приведённую на рис 2.15

Рис. 2.15. Рис. 2.16.

Замкнув накоротко генератор э.д.с. Е₂, найдем токи в ветвях, созданные генератором Е₁ (рис. 2.16):

Дальше исключим генератор э.д.с. Е₁, (рис. 2.17), и находим токи ветвей, создаваемые генератором Е₂:

Рис. 2.17

При одновременном действий обеих э.д.с. токи в ветвях, в соответствии с принципом независимости действия сил, будут складываться.

Проиллюстрируем рассмотренный алгоритм расчёта простым примером.

Положим для простоты, что Е₁=5 В, Е₂= 10 В, а каждое из сопротивлений равно одному 1 Ому. Тогда токи, создаваемые первым генератором, будут:

Токи, создаваемые вторым генератором,

Суммарные токи ветвей составят:

В ветви Z₁:

В ветви Z₂:

В ветви Z₂:

Приведенные выше методы расчета линейных электрических цепей справедливы для режимов постоянного и переменного токов.

---

Дата добавления: 2015-12-07