Тензор механічних напружень

Далі розглядаються моделі пружної поведінки твердого тіла у припущенні, що напруження у ньому є однорідними і всі частини тіла перебувають у стані статичної рівноваги. У теорії пружності, яка вивчає явища, що відбуваються з ви­никненням механічних напружень у деформованих тілах, міжатомні сили розглядаються близькодійними. Тому сили, що діють на певну частину тіла з боку інших частин, передаються безпосередньо через поверхню тіла. Такі сили пропорційні площині поверхні тіла, а їх значення, віднесене до оди­ниці поверхні площини, називають напруженням. Напружен­ня є однорідним, якщо сили, які діють на поверхню елемента певної форми та орієнтації, не залежать від положення вибраного елемента в тілі. Якщо вказана умова не викопується, то напруження називають неоднорідним.

Оскільки тверді тіла анізотропні, то напруження за­лежить від відповідного напряму у кристалах. Якщо си­ли, що діють на поверхню певної форми і орієнтації, не за­лежать від положення цього елемента в твердому тілі, то таке напруження однорідне.

Вводиться уявлення про тензор механічних напружень для структур різної розмірності, відповідні пояснення подані на рис. 2.1.

Спочатку доцільно розглянути одновимірну структуру, потім двовимірну і, нарешті, тривимірну. Однорідний протяжний пружний стрижень (одновимірний кристал), на який діє механічне напруження, показано на рис. 2.1, а. Механічне напруження – не вектор і тому позначається парою стрілок, однакових за величиною і протилежних за напрямом. Тому механічне напруження, на відміну від вектора-сили, не спонукає до механічного руху, і стрижень залишається нерухомим. Напруження прагне або розтягнути стрижень (X > 0), або стиснути його (Х < 0). Однак одиниця виміру одновимірного напруження пов’язана з одиницею сили: Х = Н/м² (ньютон).

Одновимірна модель – це не тільки ідеалізація, використовувана тут для спрощення розгляду. Сучасні активні діелектричні матеріали часто застосовують у вигляді «квазіодновимірних» протяжних маленьких кристаликів-кристалітів. Застосовувані в техніці п’єзоелектричні композити часто містять у собі орієнтовані п’єзоелектричні стрижні підвищеної жорсткості (кристалічні або керамічні). Отже, одновимірний розгляд напруження (рис. 2.1, а) має не тільки теоретичне, але і практичне значення. Як видно з рис. 1.1.2, задавати механічні напруження у цьому разі не складно.

Риc. 2.1. Однорідні механічні напруження в твердому тілі:
а – одновимірна модель; б – двовимірна модель; в – тривимірна модель

У двовимірному кристалі характер напружень дещо ширший. Напруження стискання-розтягання на рис. 2.1, б показано як незалежні – уздовж двох взаємно перпендикулярних осей (в загальному випадку напруження стискання-розтягання можна розкладати на компоненти по цих осях). Крім того, можуть виникати й особливі зсувні напруження – парні сили Х ₁₂ і Х ₂₁. З умов рівноваги (якщо припустити, що переміщення й обертання «квазідвовимірного» кристала не відбувається) випливає рівність: Х ₁₂ = Х ₂₁.

У плоскій (планарній) моделі одиниця механічних напружень залишається такою ж: [ X ] = Н/м². Розгляд двовимірного кристала або текстури, як і одновимірного об’єкту, важливий не тільки для теорії, але й для практики, оскільки відповідає уявленням про реальні п’єзоелектричні елементи – плівки. П’єзоелектричні плівки застосовують для збудження гіперзвукових надвисокочастотних хвиль у кристалах, а також у численних технічних пристроях на поверхневих акустичних хвилях. П’єзоелектричні плівки отримують здебільшого методами термічного осадження на підкладки (звичайно на силіцій, захищений оксидом силіцію) за досить високих температур. У результаті плівки, охолодившись до робочих температур, стають механічно напруженими, оскільки температурні коефіцієнти підкладки й п’єзоелектрика розрізняються. Проте ці плівки широко застосовують в акустоелектроніці.

На практиці найчастіше використовують об’ємні (тривимірні) п’єзоелектричні кристали й текстури. Механічне напруження й у цьому разі визначається силою, прикладеною до одиночної площі, і має розмірність [ Х ]= Н/м² = Па (паскаль). Теоретичний розгляд припускає, що напруження однорідні (однакові в будь-якій точці кристала). Компоненти цих напружень (сили, що діють на протилежні грані куба) зрівноважують одна одну.

У твердому тілі виділяється одиничний куб з ребрами, паралельними до осей коор­динат (рис. 2.1, в). У припущенні, що напруження у ньому є однорідними і всі частини тіла перебувають у стані статичної рівноваги, зовнішні напруження (що діють з боку зовнішніх час­тин куба через кожну грань куба) передаватимуться в його внутрішню час­тину. Ці напруження можна розкласти на три компоненти.

Нормальні компоненти механічних напружень позначають однаковими індексами: Х ₁₁, Х ₂₂, Х ₃₃. Вони діють уздовж нормалі до поверхні грані куба. Очевидно, що й на протилежні грані діють такі самі напруження (на рис. 2.1, в їх не показано). Наприклад, якщо напруження типу Х ₃₃ прагне розтягнути куб уздовж осі 3, то й на протилежну грань куба діє таке напруження ç Х ₃₃ç, яке спрямовано протилежно і зрівноважує Х ₃₃, як то показане на рис. 2.1, в.

Крім напружень, спрямованих по нормалі до грані, можливі також зсувні напруження, спрямовані по дотичній до граней розглянутого куба. Це Х ₁₃ і Х ₂₃ на верхній грані куба (рис. 1.2.1, в), компоненти Х ₃₁ і Х ₂₁ на передній грані та Х ₁₂ і Х ₃₂ на правій грані куба. Ці напруження також зрівноважені, щоб не виникали обертальні моменти (за умовами розгляду моделі). Ці компоненти механічних напружень утворюють тензор другого рангу Х_mn (як і тензор діелектричної проникності).

Однак цей тензор за своєю фізичною суттю відрізняється від тензорів e _mn, m _mn і s _mn, структура яких узгоджується із внутрішньою симетрією кристала. Тензори діелектричної і магнітної проникності, як і тензор електропровідності – це матеріальні тензори, у той час, як тензор механічних напружень – польовий тензор, що фактично характеризує структуру сил, прикладених до кристала ззовні.

Оскільки зсувні напруження не створюють механічних моментів, то Х_mn = Х_mn, тобто тензор напружень, можна виразити симетричною матрицею

Як і тензор e _mn, цей тензор характеризується поверхнею другого порядку

X ₁₁ x ² + X ₂₂ y ² + X ₃₃ z ² = 1,

де X ₁₁, X ₂₂ і X ₃₃ – компоненти матриці, зведеної до діагонального вигляду. Однак залежно від знаків X_mn ця поверхня може бути не тільки еліпсоїдом, але й уявним еліпсоїдом або гіперболоїдом, у той час, як характеристична поверхня матеріальних тензорів e _mn,m _mn та s _mn – завжди еліпсоїди.

Якщо всі компоненти тензора Х_ij зведено до головних осей, слід розглянути важливі і прості приклади (рис. 2.2):

Лінійно-напружений стан (одноосьове напруження), матрицю якого зображено на рис. 2.2, а. Прикладом може служити також рис. 2.1, а,
на якому показано розтягування однорідного стрижня.

Площинно-напружений стан (двохосьове напруження). Приклад і відповідну матрицю показано на рис. 2.2, б.

Об’ємно-напружений стан (тривісне напруження). Матрицю Х_mn і приклад показано на рис. 2.2, в.

Гідростатичний тиск, за якого X ₁₁ = X ₂₂ = X ₃₃ = – p, де р – питомий тиск. Приклад цього випадку й відповідна матриця аналогічні рис. 2.2, в, але напрями X_mn у разі гідростатичного впливу протилежні показаним на цьому рисунку й усі компоненти напруження однакові.

Напруження чистого зсуву показано на рис. 2.2, г; вісь зсуву перпендикулярна до площини цього рисунка.

Рис. 2.2. Матричний запис тензора напруженості з геометричними поясненнями компонентів

Дата добавления: 2015-12-07