Читайте также: |
|
Рис. 8.1. |
Простейшим примером гармонических колебаний является движение так называемого математического маятника. Математическим маятником называется маятник, состоящий из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной и колеблющейся около точки О. В этом случае центр тяжести системы можно считать совпадающим с центром тяжести груза. Напишем уравнение движения для математического маятника, находящегося в поле тяготения и отклоненного от состояния равновесия на угол a. Система, выведенная из состояния устойчивого равновесия и предоставленная самой себе, совершает колебания, называемые свободными. На маятник в отклоненном состоянии действует сила (рис. 8.1): Рt=mg sina. Она направлена по касательной к траектории груза в сторону положения равновесия. Уравнение движения груза будет иметь вид:
, (8.1)
В этой записи уравнения учтено, что возвращающая сила всегда направлена в сторону, противоположную направлению возрастания смещения х. При малых отклонениях маятника от положения равновесия (угол a не превышает 5-6 град.) можно считать, что , т.е. смещение по дуге можно считать приближенно равным смещению вдоль горизонтальной хорды. Уравнение (8.1) обычно записывается в виде:
, (8.2)
где – циклическая частота гармонических колебаний.
Решением этого дифференциального уравнения является выражение:
.
Период колебаний определяется формулой:
. (8.3)
Из этой формулы видно, что период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в данном месте Земли и от длины маятника, и не зависит от амплитуды колебаний и от массы груза. Измеряя Т и используя формулу (8.3), можно вычислить ускорение свободного падения в данном месте земной поверхности. Этим методом впервые было измерено значение g на разных широтах земного шара, в результате чего была установлена зависимость g от широты j. Если измерить для нескольких значений соответствующие периоды колебаний (, где t-время n полных колебаний), затем построить график зависимости Т2 от , то согласно формуле (8.3) эта зависимость может быть представлена в виде прямой типа: y = ax. Тангенс угла наклона этой прямой численно равен:
.
Отсюда можно найти ускорение свободного падения g:
|
Из-за наличия трения часть механической энергии маятника рассеивается в виде тепла, поэтому колебания всегда затухают. Так как маятник совершает вращательные колебания, то они описываются основным уравнением динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:
, (8.4)
где J=J0+ m – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О; J0 – его момент относительно центра масс; – угловое ускорение; Мw – проекция результирующего момента всех сил, действующих на тело, на ось вращения. Он складывается из вращательного момента, создаваемого силой тяжести:
,
и тормозящего момента, создаваемого силами трения:
,
где k – коэффициент трения, – угловая скорость. Знак «–» в формуле для вращательного момента отражает тот факт, что возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, а в формуле для тормозящего момента то, что сила сопротивления направлена всегда против направления движения.
При малых углах отклонения , тогда , и уравнение (8.4) можно представить в виде:
. (8.5)
Введя обозначения: , где b – коэффициент затухания; , где w0 – собственная частота маятника, получаем универсальный вид дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний:
, (8.6)
его решением является функция:
, (8.7)
где – частота свободных затухающих колебаний, - начальная фаза.
Период свободных затухающих колебаний можно найти по формуле:
. (8.8)
Если считать, что затухание колебаний мало (см. конструкцию прибора), то им можно пренебречь в выражении (8.8). Учитывая, что
получаем для периода колебаний физического маятника следующую формулу:
. (8.9)
где - приведенная длина физического маятника.
Тогда значение ускорения свободного падения можно найти по формуле:
. (8.10)
Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 51 | Нарушение авторских прав