Читайте также:
|
На основании формулы 
можно утверждать следующее.
|
Если график функции y = f (x) непрерывный на отрезке  и гладкий на интервале  , то на этом интервале найдется такая точка  , в которой касательная параллельна хорде, стягивающей граничные точки графика функции (рис. 28).
|
2. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами. Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения
зависит от вида правой части этого уравнения (функции 
) и от величин корней характеристического уравнения. Рассмотрим нахождение частного решения для двух видов функции 
. Случай 1. Правая часть уравнения 
, где g - вещественное значение, 
- многочлен m -й степени. В этом случае частное решение уравнения ищется в виде 
,где 
- многочлен m -й степени, s - степень кратности корня характеристического уравнения 
. Если 
не является корнем характеристического уравнения, то s = 0. Случай 2. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид 
, где g и w - вещественные значения, 
и 
- многочлены степени 
и 
соответственно. В этом случае частное решение дифференциального уравнения ищется в виде 
, 
- многочлены степени 
, s - кратность корня характеристического уравнения 
, где 
совпадает с числом g в показателе степени 
в функции 
правой части уравнения. Если g в не совпадает с 
, то s = 0.
3.. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбниц. Если члены знакочередующегося ряда 
монотонно убывают 
и стремятся к нулю 
, то ряд сходится; причем сумма ряда по абсолютной величине не превосходит первого члена ряда 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению знакочередующегося ряда 
предполагается, что члены ряда положительные 
. Рассмотрим две частичные суммы ряда: с четным числом членов ряда 
и с нечетным числом членов 
. В сумме с четным числом членов 
сначала сгруппируем члены попарно следующим образом 
. Так как члены ряда монотонно убывают (
), то разность в каждой скобке суммы 
больше нуля и эта сумма монотонно возрастает с увеличением числа членов 2 n. Теперь сгруппируем члены этой суммы следующим образом
. Так как в этой сумме также разность в каждой скобке больше нуля, то сумма монотонно убывает с увеличением числа членов 2 n и не превосходит первого члена ряда 
. Следовательно, последовательность частичных сумм ряда с четным числом членов монотонно возрастает и ограничена. Поэтому по теореме Вейерштрасса она имеет некоторый предел 
. Найдем также предел частичных сумм ряда с нечетным числом членов. 
. При нечетном числе членов ряда сумма 
также не превосходит первого члена ряда . 
. Таким образом, предел частичных сумм знакочередующегося ряда существует, т. е. ряд всегда сходится, если его члены монотонно убывают и стремятся к нулю. Частичные суммы знакочередующегося ряда меньше первого члена ряда 
. Члены ряда стремятся к нулю 
, поэтому сумма ряда не может превосходить первого члена ряда .
Билет 18.
Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 1 | Нарушение авторских прав