Градиент функции, его свойства

Градиентом функции называется вектор , где - единичные векторы координатного базиса в прямоугольной декартовой системе координат. Кратко можно записать . Здесь Ñ - знак набла. Теорема 3.5. Производная функции по направлению вектора равняется проекции градиента этой функции на это направление, т. е. . Известно, что проекция некоторого вектора на направление вектора равняется . Здесь j - угол между векторами и , - скалярное произведение векторов, - единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

Найдем .

Свойство 1. Производная функции по направлению вектора достигает своего наибольшего значения, если направление вектора совпадает с направлением градиента этой функции. Свойство 2. Производная функции по направлению вектора равняется нулю, если направление вектора перпендикулярно направлению градиента этой функции. Данные свойства используются при решении задач оптимизации (нахождения наибольшего, наименьшего значений функций) с помощью численных методов. Градиент функции определяет направление наибольшего изменения функции. Направление перпендикулярное градиенту определяет направление, в котором функция не изменяется. Известно, что на поверхности уровня функция не изменяется. Следовательно, градиент функции перпендикулярен поверхности уровня. Это обстоятельство можно использовать для написания уравнения касательной плоскости к поверхности . Пусть точка принадлежит поверхности. Найдем градиент функции в этой точке и напишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Получаем уравнение касательной плоскости .

2. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение неоднородного уравнения, как было показано ранее (теорема 7.4 ), находится как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е. , где - линейно независимые решения однородного уравнения;

- произвольные постоянные; - частное решение исходного неоднородного уравнения. В общем случае линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид , где - постоянные величины. Частные решения однородного уравнения ищут в виде . Производные этой функции равны . Подставляем функцию и ее производные в однородное уравнение . Делим это уравнение на , получаем уравнение . Данное уравнение называется характеристическим. Случай 1. Все корни характеристического уравнения вещественные различные. В этом случае дифференциальное уравнение имеет n линейно независимых частных решений . Общее решение однородного уравнения имеет вид или , где - произвольные постоянные. Случай 2. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней , где . Тогда этим корням соответствует два линейно независимых комплексно-сопряженных решения , . Из этих решений составляют два линейно независимых действительных решения . Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид или . Случай 3. Характеристическое уравнение имеет действительный корень l кратности k. Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решения однородного уравнения, которые имеют вид . Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид . Случай 4. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней кратности k. Тогда этим корням соответствует 2 k линейно независимых частных решений однородного уравнения, которые имеют вид . Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

Или

3. Интегральный признак Коши. Если члены знакоположительного ряда , являющиеся значениями функции целочисленного аргумента , монотонно убывают и стремятся к нулю , то: 1) если сходится, то и ряд сходится; 2) если расходится, то и ряд расходится. Д о к о з а т е л ь с т в о. В прямоугольной декартовой системе координат непрерывная кривая проходит через точки и ограничивает сверху криволинейную трапецию ABCD (рис. 86). Площадь этой криволинейной трапеции равняется . Построим две ступенчатые фигуры с угловыми точками . Эти ступенчатые фигуры состоят из прямоугольников, основания которых равняются единице, а высоты значениям . Найдем площади этих фигур. , ,

где - n -я частичная сумма ряда. Площади этих ступенчатых фигур ограничивают площадь криволинейной трапеции ABCD снизу и сверху Û .

Рассмотрим левую часть этого неравенства Û .

При неограниченном возрастании числа n членов ряда частичные суммы ряда монотонно возрастают, так как ряд знакоположительный. При этом интеграл также возрастает и ограничен величиной интеграла . Поэтому , т. е. последовательность частичных сумм ограничена. По теореме Вейерштрасса существует предел . Следовательно, ряд сходится. Рассмотрим правую часть неравенства Û . По условию теоремы . Если неограниченно возрастает, то и предел частичных сумм неограниченно возрастает и, следовательно, ряд расходится. Таким образом, интегральный признак Коши в принципе позволяет для любого ряда решить вопрос о его сходимости. Трудность в его применении заключается в нахождении несобственных интегралов. Возможности в их нахождении ограниченные.

Билет 17.

1.Теорема Лагранжа о конечном приращении функции. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая в каждой его внутренней точке, то на интервале (a, b) найдется такая точка х = с, что .

Дата добавления: 2015-12-07