Второй замечательный предел, его обоснование

Рассмотрим последовательность , где . Найдем несколько членов этой последовательности:

; ; …, ; ; Как можно заметить, члены последовательности возрастают с увеличением их номеров.

Если последовательность монотонно возрастает " n и ограничена, то по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Покажем, что рассматриваемая последовательность удовлетворяет этим требованиям.

Покажем сначала, что рассматриваемая последовательность монотонно возрастает, т. е. " n.

Воспользуемся формулой разложения бинома Ньютона, которая имеет вид

Запишем разложение члена последовательности по этой формуле

.

Здесь в слагаемых каждый сомножитель, стоящий в числителе дробей, поделим на n, имеющееся в знаменателе. Получим

Также поступим с .

. Так как слагаемые в разложении меньше соответствующих слагаемых в разложении : то .

Покажем, что последовательность ограничена. Запишем .

Поделим каждую скобку в числителе на n, получим Каждая скобка в правой части этого равенства меньше единицы, поэтому справедливо неравенство .Усилим данное неравенство. Уменьшим знаменатели дробей, заменив факториалы, стоящие в знаменателях на степени:

; ; …, ,…, . Имеем неравенство , правая часть которого при n ®¥ представляет бесконечную убывающую геометрическую прогрессию. Найдем сумму этой бесконечной прогрессии, получим

. Следовательно, последовательность ограничена. Таким образом, последовательность с общим членом имеет предел. Этот предел равен , (1.2)

где e = 2,718281828… - иррациональное число. Покажем, что второй замечательный предел может быть записан в следующем виде

, где - непрерывная бесконечно малая функция.

Значение любой бесконечно малой функции a(х) при конкретном значении х удовлетворяет неравенству

, где n подходящее достаточно большое число. Отсюда можно записать два неравенства и . Тогда справедливо неравенство . При этом если a(х)®0, то n ® ¥.

Так как , ,

т. е. , то по теореме о промежуточной функции

Дата добавления: 2015-12-07